הכבידה האוניברסלית

בשנת 1665 סגרה המגפה את קיימברידג' ושלחה את אייזק ניוטון הביתה לוולסטורפ. שם, אי־שם בין הפרדס לשמי הלילה, הוא שאל שאלה שאיש לא חשב לשאול: האם הכוח שמושך תפוח אל הקרקע הוא אותו הכוח שמונע מהירח להסתלק בקו ישר?

הבדיקה הייתה פשוטה. הירח מקיף את כדור הארץ במרחק של כ־60 רדיוסי ארץ. אם הכבידה מצייתת לחוק הריבוע ההפוך, אזי התאוצה במרחק הירח אמורה להיות הערך שעל פני השטח חלקי 60 בריבוע:

את התאוצה הצנטריפטלית של הירח אפשר לחשב באופן בלתי תלוי מתוך רדיוס המסלול והמחזור. רדיוס המסלול הוא כ־3.84 x 10⁸ m, המחזור כ־27.3 ימים. הציבו a = 4π²r/T² ותקבלו 0.0027 m/s². המספרים התאימו. אותו כוח שמפיל תפוח מעקם גם את מסלול הירח.

זה היה הרגע שבו הפיזיקה הארצית והפיזיקה השמימית התאחדו. לפני ניוטון, לשמיים היו חוקים משלהם — ספירות גבישיות, מניעים אלוהיים, פיזיקה של שלמות הנפרדת מן העולם הבלתי מסודר שמתחת. אחרי ניוטון, הייתה פיזיקה אחת.

מדוע הכבידה נחלשת כ־1/r²? יש טיעון גאומטרי כה נקי שהוא כמעט מהווה הוכחה בפני עצמו. דמיינו מקור נקודתי המקרין כוח בשווה לכל הכיוונים. במרחק r, הכוח הזה מתפרס על פני ספירה ששטחה 4πr². הכפילו את המרחק, ואותו כוח מתפרס על פני שטח גדול פי ארבעה. העצמה — כוח ליחידת שטח — יורדת כ־1/r².

אבל ניוטון עשה יותר מאשר להציע אינטואיציה. הוא הוכיח שחוקו השלישי של קפלר — T² פרופורציוני ל־a³ — דורש דווקא כוח של ריבוע הפוך. הגזירה קצרה מספיק כדי לעקוב אחריה במלואה.

עבור מסלול מעגלי ברדיוס r, התאוצה הצנטריפטלית היא:

כעת יישמו את החוק השלישי של קפלר: T² = k · r³ עבור קבוע k כלשהו. נציב:

הנה זה. החוק ההרמוני מחייב שהתאוצה — ולכן גם הכוח, לפי החוק השני של ניוטון — תדעך כריבוע המרחק. לא בחזקה שלישית, לא בחזקה ראשונה. בדיוק בריבוע. האסטרונומיה הדקדקנית של קפלר, מזוקקת דרך המכניקה של ניוטון, מולידה את חוק הכבידה.

גררו את חלקיק המבחן פנימה והחוצה מן הקליפה. מחוצה לה, חץ הכוח גדל כ־1/r² — הקליפה פועלת כאילו כל המסה שלה מרוכזת במרכזה. מבפנים, הכוח נעלם כליל. זהו משפט הקליפה של ניוטון בפעולה.

משפט הקליפה הוא התוצאה שהפכה את הכבידה האוניברסלית לתאוריה שמישה. בלעדיו, חישוב כוח הכבידה של ספירה בגודל כוכב לכת היה מחייב סיכום תרומות מכל אטום ואטום. עימו, אפשר להתייחס לכדור הארץ כאל מסה נקודתית היושבת במרכזה.

הוכחת ניוטון מופיעה בפרינקיפיה, ספר א, משפט 71. הטיעון גאומטרי: שקלו קליפה כדורית דקה בעלת צפיפות אחידה. בחרו נקודה חיצונית P כלשהי. עבור כל רסיס מסה קטן בצד הקרוב של הקליפה, יש רסיס מקביל בצד הרחוק כך שמשיכות הכבידה שלהם על P, מפורקות לאורך הקו מ־P אל המרכז, מצטרפות בדיוק כאילו כל המסה יושבת במרכז.

עבור נקודה פנימית, ההיגיון אפילו אלגנטי יותר. כל חרוט של כיוונים מן הנקודה הפנימית חותך את הקליפה בשני כיפות. הכיפה הקרובה יותר קרובה אך מכסה שטח קטן יותר; הכיפה הרחוקה יותר רחוקה אך גדולה יותר. שני האפקטים מתבטלים לחלוטין. הכוח השקול: אפס.

לניוטון לקח כעשרים שנה להוכיח זאת בקפדנות שדרש — התובנה הפיזיקלית הייתה בידיו כבר באמצע שנות ה־1660, אך הוא דחה את פרסום הפרינקיפיה עד 1687 בין היתר משום שמשפט הקליפה התנגד להדגמה פשוטה. כשסוף־סוף פיצח אותו, כתב לאדמונד הלי שהתוצאה "שווה את הטרחה".

החליקו את המסה השנייה מאפס ומעלה וצפו בשדה מתעוות. עם מסה אחת החצים מצביעים רדיאלית פנימה — ריבוע הפוך טהור. הוסיפו מסה שנייה ותראו את השדה מעוות: נקודת אוכף מופיעה בין שני הגופים שבה משיכותיהם מתבטלות. זהו האנלוג הכבידתי לסופרפוזיציה של שדות חשמליים.

חוק ניוטון מכיל קבוע יחס, G. ניוטון מעולם לא מדד אותו. במשך יותר ממאה שנה אחרי הפרינקיפיה, איש לא הצליח — כוח הכבידה בין עצמים בסדר גודל מעבדתי קטן באופן אבסורדי.

בשנת 1798 הצליח הנרי קוונדיש. מכשירו: מוט עץ אופקי, באורך כשישה רגל, עם כדור עופרת קטן (0.73 kg) בכל קצה, תלוי מהתקרה בחוט מתכת דק. ליד כל כדור קטן הניח ספירת עופרת גדולה (158 kg). משיכת הכבידה בין המסות הקטנות לגדולות פיתלה את החוט בזווית זעירה — קוונדיש מדד אותה באמצעות קרן אור המוחזרת ממראה המוצמדת למוט.

מתוך זווית הפיתול, קבוע הפיתול של החוט, והמסות והגאומטריה הידועות, חילץ קוונדיש את הכוח. מתוך הכוח וחוק ניוטון, חילץ את G.

וברגע שיש לכם G, יש לכם את מסת כדור הארץ. תאוצת הכבידה על פני השטח g = GM/R², ולכן:

קוונדיש מעולם לא תיאר זאת כך — שם מאמרו היה "ניסויים לקביעת צפיפות כדור הארץ" — אך ההיסטוריה זוכרת אותו כאדם ששקל את כדור הארץ.

הזיזו את המחוון לשינוי המסה הגדולה. צפו בזרוע מתפתלת בתגובה. התצוגה מראה את זווית הפיתול הנמדדת, את G, ואת מסת כדור הארץ המשתמעת. הפיתול זעיר — סטייתו בפועל של קוונדיש הייתה כ־0.16 מעלות — אך היה די בה כדי לקבע את הקבוע החמקמק ביותר בפיזיקה הקלאסית.

ניוטון ניסח את הכבידה ככוח בין שני גופים. הניסוח השדוּתי, שפותח מאוחר יותר, עוצמתי יותר: הצמידו לכל נקודה במרחב וקטור g(r) המייצג את תאוצת הכבידה שמסת מבחן תחווה שם.

הפוטנציאל הכבידתי הוא שדה סקלרי שגרדיאנטו נותן את שדה הכוח:

האנרגיה הפוטנציאלית של מסה m בשדה הזה היא U = mΦ = −GMm/r. סימן המינוס אינו מוסכמה — הוא מקודד את הפיזיקה של מצבים קשורים. קבעו את האפס של הפוטנציאל באינסוף. חלקיק ב־r סופי הוא בעל אנרגיה פוטנציאלית שלילית, כלומר עליכם להוסיף אנרגיה כדי לשחררו. ככל שΦ שלילי יותר, כך החלקיק קשור בחוזקה רבה יותר.

מהירות המילוט נובעת מיד: קבעו אנרגיה כוללת E = KE + PE = ½mv² − GMm/r = 0 ופתרו עבור v. על פני כדור הארץ:

גררו את החלקיק לאורך עקומת הפוטנציאל. הפס המגנטה מראה את האנרגיה הקינטית — הפער בין האנרגיה הכוללת (הקו האדום המקווקו) לבין הפוטנציאל. החליקו את מחוון האנרגיה הכוללת כלפי מעלה אל עבר אפס וצפו בחלקיק הופך לבלתי קשור. ב־E = 0 יש לו בדיוק אנרגיית מילוט. מעל לאפס, הוא טס חופשי.

הכבידה האוניברסלית נתנה לאנושות את תאוריית הקוסמוס החיזויית הראשונה שלה. תוך פחות ממאה שנה מן הפרינקיפיה, אוילר ולגראנז' כבר חישבו את ההפרעות של צדק ושבתאי. הלי חזה את שובו של השביט שלו. לפלס הוכיח את יציבותה ארוכת הטווח של מערכת השמש (או כך חשב).

הניצחון המרהיב ביותר של התאוריה הגיע ב־1846. אורבן לה ורייה, שעבד מתוך התנודות הבלתי מוסברות במסלול אורנוס, חישב היכן חייב להימצא כוכב לכת סמוי. הוא שלח את תחזיתו למצפה הכוכבים של ברלין. יוהאן גאלה כיוון את הטלסקופ אותו לילה ומצא את נפטון בתוך מעלה אחת מן המיקום החזוי. כוכב לכת שהתגלה באמצעות מתמטיקה בלבד — באמצעות הכבידה.

כיום, הכבידה האוניברסלית עומדת בבסיס חיזוי הגאות והשפל, תכנון מסלולי לוויינים, תיקוני שעוני GPS (הכבידה הניוטונית תורמת את האיבר הדומיננטי; תורת היחסות הכללית מוסיפה תיקון קטן), תכנון הסטת אסטרואידים, ומידול של מקבצי גלקסיות. עידוש כבידתי — כיפוף האור על ידי עצמים מסיביים — נחזה לראשונה על ידי תאוריית ניוטון (הוא טעה בזווית הסטייה בפקטור של שניים; איינשטיין תיקן זאת), וכיום הוא כלי ראשי בקוסמולוגיה תצפיתית.

חוק ניוטון אינו המילה האחרונה. הוא מתפרק במהירויות גבוהות, בשדות חזקים ובסקלות קוסמולוגיות — זה המגרש של איינשטיין. אבל עבור הרוב המוחלט של פיזיקת הכבידה שבני אדם יתקלו בה אי פעם, מתפוחים נופלים ועד חלליות במסלול, חוק הריבוע ההפוך מדויק, שלם ויפה.