אנרגיה ועבודה

דיסקית הוקי נעצרת. מטוטלת גוססת. לבנה נופלת ופוגעת בקרקע מבלי לקפוץ חזרה לגובה שממנו הוטלה. בכל אחד מהמקרים האלה מתבקש לומר שהתנועה אבדה. היא לא. היקום מתנהל על פי הנהלת חשבונות כפולה, ולכל ג'אול יש כתובת. משימתנו הראשונה היא לבנות את ספר החשבונות.

הטענה המרכזית של המודול הזה מנוסחת במשפט אחד. האנרגיה הכוללת של מערכת מבודדת קבועה. לא האנרגיה הקינטית — היא משתנה. לא האנרגיה הפוטנציאלית — גם היא משתנה. הסכום של כל הצורות שבהן ניתן לאחסן אנרגיה — תנועה, גובה, מתח קפיץ, טמפרטורה, קשרים כימיים, קרינה — הסכום הזה לעולם אינו משתנה. אפשר לשנות את הצורה, ולעתים גם לעשות משהו שימושי. אך אי אפשר לשנות את הסיכום.

הפיזיקה הגיעה למשפט הזה לאורך כמאתיים שנה. מהמושג vis viva של לייבניץ משנת 1686 (ה"כוח החי" m·v²), דרך ההגנה של אמילי דו שאטלה עליו משנת 1740 מול הסיעה הניוטונית, דרך גילוי החום הסמוי של ג'וזף בלאק בשנות ה־60 של המאה ה־18, ועד לניסויי הסבלנות של ג'ול בשנות ה־40 של המאה ה־19, שקשרו עבודה מכנית לטמפרטורה — הרעיון של גודל משומר יחיד בשם אנרגיה התגבש רק סביב 1850. לפני כן היו "כוחות" שונים — חיים, מתים, סמויים, כימיים, חשמליים — ואיש לא היה בטוח שמדובר באותו חומר. הסיפור של הנושא הזה הוא איך הם התבררו בסופו של דבר כאותו הדבר.

נעשה זאת לפי הסדר: עבודה, אחר כך אנרגיה קינטית, אחר כך אנרגיה פוטנציאלית, אחר כך החוק הקושר אותן, ולבסוף הספק. בסוף הנושא — לדיסקית ההוקי האבודה תהיה כתובת מדויקת.

נתחיל במשהו קונקרטי. אתה דוחף תיבה על רצפה בכוח קבוע F למרחק d, באותו כיוון של הדחיפה. המכפלה F·d היא ה**עבודה** שביצעת על התיבה. אם תדחוף בכוח כפול, או למרחק כפול, תבצע עבודה כפולה. היחידות הן ניוטון × מטר, שיש להן שם משלהן: ג'אול.

הנוסחה הפשוטה הזו מסתירה עדינות: עבודה מתבצעת רק במידה שהכוח וההעתק מצביעים באותו כיוון. דחוף תיבה אופקית והלך קדימה — נעשית עבודה. דחוף אופקית על תיבה שאינה זזה — אין העתק, אין עבודה. עמוד והחזק מזוודה ביד מושטת — הכוח אנכי, ההעתק (בזמן שאתה עומד) אפס, ולכן לא מתבצעת עבודה על המזוודה, גם אם הזרוע שלך בוערת מהמאמץ. הגוף מבצע עבודה ביוכימית לשמירה על מתח שרירי, אך לא מתבצעת עבודה מכנית על התיק. ה"עבודה" של הפיזיקאי אינה העבודה של היומיום.

לכוח בזווית θ ביחס להעתק, רק הרכיב לאורך המסלול נחשב:

דחוף מזחלת ישר קדימה על קרקע שטוחה, וקיבלת θ = 0, cos θ = 1, ו־W = F·d. דחוף בזווית של 90° לתנועה — חוט שמושך כדור במעגל, למשל — ו־cos θ = 0 ולא מתבצעת עבודה. לכן כוח הכבידה על לוויין במסלול מעגלי אינו מבצע עבודה עליו: הכוח פנימה, התנועה משיקית, והם ניצבים זה לזה. האנרגיה הקינטית של הלוויין נשארת קבועה כי אין עסקת עבודה בממשק שבין כוח להעתק.

כשהכוח משתנה לאורך המסלול — קפיץ נמתח, שדה כבידה משתנה, מנוע טיל מתרוממת — המכפלה F·d נהפכת לאינטגרל:

לקפיץ הוקיאני המציית ל־F = −k·x, אינטגרציה מ־0 עד x נותנת W = ½·k·x². לכבידה סמוך לפני כדור הארץ, עם F = m·g קבוע, לגובה h, העבודה שמבצעת הכבידה על גוף נופל היא m·g·h. שתי התוצאות האלה הן עמוד השדרה של מה שבא כעת.

בצע עבודה על גוף חופשי להאצה, והגוף יואץ. כמה? כתוב את החוק השני של ניוטון כ־F = m·(dv/dt), הכפל את שני הצדדים ב־v = dx/dt, ובצע אינטגרציה:

הצד השמאלי הוא העבודה שבוצעה על הגוף. הצד הימני הוא השינוי בגודל שנקרא אנרגיה קינטית, ובדרך כלל נסמן אותה T או KE:

זהו משפט העבודה–האנרגיה הקינטית: העבודה הכוללת שמבוצעת על גוף שווה לשינוי באנרגיה הקינטית שלו. דחוף דיסקית של 1 ק"ג בכוח של 10 ניוטון לאורך 5 מטר של קרח ללא חיכוך, וביצעת עליה 50 ג'אול של עבודה — וזו בדיוק האנרגיה הקינטית שיש לה כשתשחרר אותה. 10 מטר/שנייה ממצב מנוחה. אין צורך בחשבונאות נוספת.

הגורם ½ ו־v² אינם קוסמטיים. v² הוא מה שגורם למרחק עצירה לגדול ריבועית במהירות: הכפל את מהירות המכונית ותזדקק לארבע פעמים מרחק בלימה, כי יש פי ארבעה אנרגיה קינטית להיפטר ממנה. ה־½ הוא המחיר של אינטגרציה של v מאפס ועד עצמה. זו גם הסיבה שהגודל שלייבניץ קרא לו vis viva, m·v², היה שגוי בגורם שתיים — גורם שתיקנה אמילי דו שאטלה בפרשנותה על מחלוקת הקדימות ניוטון–לייבניץ, אם כי המחלוקת נמשכה עשרות שנים לאחר מכן.

הרם לבנה של 1 ק"ג למטר אחד כלפי מעלה נגד הכבידה. ביצעת עליה בערך 9.8 ג'אול של עבודה. שחרר. היא נופלת. עד שהיא פוגעת בקרקע היא נעה במהירות √(2gh) ≈ 4.4 מטר/שנייה ויש לה אנרגיה קינטית ½·m·v² ≈ 9.8 ג'אול — בדיוק העבודה שביצעת בהרמתה.

אז מה הלבנה אחסנה בזמן שישבה על המדף, ללא תנועה? לא הייתה לה אנרגיה קינטית — היא נחה. ועם זאת, לפי פקודה, היא הייתה מסוגלת לשחרר 9.8 ג'אול של אנרגיה קינטית בבת אחת. הדבר־שיכול־להפוך־לאנרגיה־קינטית המאוחסן הזה נקרא אנרגיה פוטנציאלית. לכבידה ליד פני כדור הארץ:

כאשר h נמדד מכל רמת אפס נוחה. האפס שרירותי — רק שינויים ב־PE משמעותיים פיזיקלית. מה שחשוב הוא ΔPE = m·g·Δh: הרם לבנה במטר אחד והגדלת את ה־PE שלה ב־m·g; הורד אותה במטר אחד והפחתת את ה־PE באותה הכמות.

אותה לוגיקה פועלת עבור קפיץ נמתח. לחץ או מתח קפיץ הוקיאני ב־x ממצב המנוחה, והוא אוגר:

שחרר אותו והאנרגיה המאוחסנת הופכת חזרה לתנועה. קרש הקפיצה, הקשת, המוט של קופץ במוט, הקטפולטה והקלע כולם מאגרי אנרגיה פוטנציאלית — אתה טוען אותם על ידי ביצוע עבודה נגד כוח מחזיר, והם משחררים אותה בפקודתך.

הרעיון המרכזי עובר הכללה: כל כוח שמבצע עבודה על גוף באופן הפיך — כלומר, האנרגיה יכולה להיחזר במלואה על ידי תנועה הפוכה — מאפשר פונקציית אנרגיה פוטנציאלית. הכבידה היא כוח כזה (PE שלה הוא m·g·h). קפיצים הם כוחות כאלה (½·k·x²). כוחות חשמליים גם הם. חיכוך, באופן מפורסם, אינו כזה — העבודה שהחיכוך מבצע נגדך אינה ניתנת לשחזור על ידי דחיפת הגוש אחורה. חיכוך הוא כוח מפזר, והאנרגיה שהוא לוקח הופכת לחום.

כעת נקשור אנרגיה קינטית ופוטנציאלית. שחרר את הלבנה ממצב מנוחה בגובה h. בפסגה, KE = 0 ו־PE = m·g·h. בתחתית, רגע לפני הפגיעה, PE = 0 ו־KE = ½·m·v². משפט העבודה–האנרגיה הקינטית אומר ש־KE_סופי − KE_התחלתי = W_כבידה. העבודה שהכבידה מבצעת על הלבנה הנופלת היא +m·g·h. לכן:

זהו חוק הנפילה של גלילאו, שהופק מחדש מאנרגטיקה. באופן שקול, שים לב ש־KE + PE = m·g·h בפסגה ו־½·m·v² בתחתית — ושני אלה שווים. בינתיים, בכל גובה y < h,

הגודל משמאל הוא האנרגיה המכנית. כשהלבנה נופלת, KE עולה ו־PE יורד, אך הסכום שלהם נשאר קבוע. זהו שימור האנרגיה המכנית בצורתו הפשוטה ביותר. הוא תקף לכל מערכת הנתונה לכוחות שמרניים בלבד (כבידה, קפיצים, התנגשויות אלסטיות אידיאליות). הוא נכשל ברגע שנכנסים כוחות מפזרים — אך רק כי אנרגיה מכנית לבדה היא הסיכום הלא נכון לעקוב אחריו.

שחרר כדור משפת הקערה. כשחיכוך מכוון לאפס, KE ו־PE מחליפים הלוך ושוב לנצח — הבר הכולל נשאר מלא. הגבר את החיכוך, והמקטע האדום "חום" גדל: אנרגיה דלפה מספר החשבונות המכני לתנועה תרמית של הקערה והכדור. האנרגיה המכנית הכוללת (כחול + זהב) מתכווצת. החוק הראשון של התרמודינמיקה מבטיח שהחום באמת שם — הקערה חמה מיקרוסקופית — אך למטרת תנועת הכדור היא הלכה לעד.

עבודה היא סיכום. הספק הוא קצב. אם מעלית של 100 ק"ג נושאת אדם 10 מטר למעלה ב־5 שניות, היא מבצעת m·g·h ≈ 9.8 קילו־ג'אול של עבודה — אותה עבודה שתבצע אם היה לה יום או שנה. אך ההספק — הג'אולים לשנייה — תלוי בכמה מהר העבודה מבוצעת. 9.8 קילו־ג'אול ב־5 שניות הם בערך 2 קילו־ואט. אותה משימה שנמתחת על שעה היא בערך 2.7 ואט — מנורת לילה.

ההשלכה המעשית היא הסיבה שלמנועים יש דירוגי הספק. מנוע מכונית שדירוגו 100 קילו־ואט יכול לבצע 100 קילו־ג'אול של עבודה כל שנייה. הוא יכול להרים את עצמו במעלה גבעה, להאיץ, לדחוף דרך התנגדות אוויר — אבל רק בקצב הזה. אם ההפסדים חורגים מההספק, המכונית מאטה; אם הם פחותים, היא מאיצה. שיא ההאצה מתרחש במקום שבו כל הספק המנוע זורם לאנרגיה קינטית ואין למשיכה. במהירות סופית על כביש שטוח, המשיכה אוכלת בדיוק את 100 קילו־הואט של המנוע, וההספק הנטו על המכונית הוא אפס.

יחידת ההספק היא הוואט (W = J/s), על שמו של ג'יימס ואט, המהנדס הסקוטי שבשנות ה־60 של המאה ה־18 הפך את מכונת הקיטור מסקרנות לשאיבה למנוע המוביל של המהפכה התעשייתית. ואט עצמו, ניצב מול לקוחות שחשבו בסוסים, המציא את יחידת כוח הסוס להערכת מכונותיו. כוח סוס אחד שווה לבערך 746 ואט — דמות גדולה אך סבירה עבור סוס חבילה מרים משקל בצורה יציבה.

כעת אנו יכולים לסגור את הלולאה שפתחנו בתחילה. דיסקית הוקי מחליקה על מגרש קרח ונעצרת. האנרגיה המכנית ירדה מ־½·m·v² לאפס. לאן הלכה?

היא הלכה לחיכוך קינטי בין הדיסקית לקרח, והקרח (והדיסקית) התחממו מיקרוסקופית. אפשר למדוד זאת אם אתה זהיר — תרמו־זוג רגיש יכול לזהות את החימום של הקרח מתחת לדיסקית מאטה. האנרגיה הקינטית לא נעלמה. היא התחלקה מחדש לתנודה תרמית של 10²⁵ אטומים, שכל אחד קיבל חלק קטן. תנועת אף אטום אינה נראית, אך סיכום על כולם — יתרת האנרגיה מתקיימת בדיוק.

ג'ול בילה את שנות ה־40 של המאה ה־19 בעידון העניין הזה. בניסוי המפורסם ביותר שלו הוא הציב גלגל משוטים בתוך מיכל מבודד של מים, חיבר אותו למשקל נופל, ונתן למשקל להפעיל את הגלגל לערבוב המים. המים התחממו. ג'ול מדד בכמה, והשווה לאנרגיה הפוטנציאלית m·g·h של המשקל הנופל. המספרים התאימו — לאחר החלת גורם המרה בין אנרגיה מכנית (ג'אולים) לאנרגיה תרמית (קלוריות), הסכומים התאזנו בתוך שגיאת ניסוי. ג'אול אחד של עבודה תואם בדיוק ל־1 ג'אול של חום. היום אנו קוראים לגורם ההמרה הזה 1 ולשני הגדלים אנרגיה, אך ב־1843 השוויון הזה היה חדשות.

ניסוי גלגל המשוטים של ג'ול הוא הבסיס המכונן של הנושא הזה. זה הסיבה שתנועת דיסקית ההוקי לא אבדה — היא רק שינתה בגדים. זו הסיבה שחיכוך וגרר אינם הפרות של שימור אלא דרכים ספציפיות וצפויות לניתוב אנרגיה מרשומת אחת (קינטית) לאחרת (תרמית). ולכן הפיזיקה במחצית השנייה של המאה ה־19 הפכה לתרמודינמיקה: חקר האנרגיה בכל צורותיה בו־זמנית.

בנושא הבא נטפל בחוק שימור משלים, כזה שעוקב אחר גודל שונה — לא m·v² אלא m·v עצמו — ומתגלה כיסודי באותה מידה. אנרגיה נשמרת כי חוקי הפיזיקה אינם משתנים בזמן. תנע נשמר כי הם אינם משתנים במקום. התבנית מתחילה להתגבש.