תנע והתנגשויות

באיור 05 בנינו ספר חשבונות לאנרגיה. לכל ג'אול הייתה כתובת, ואף ג'אול לא אבד באמת, רק הועבר — לעיתים לחום בלתי שימושי. הנושא הזה בונה ספר חשבונות שני, העוקב אחר גודל שונה לגמרי: לא m·v² אלא פשוט המכפלה m·v, עם כיוון מצורף. הוא נקרא תנע, ובדרך כלל נסמן אותו p, והוא מציית לחוק שימור קפדני לא פחות מזה של אנרגיה — ומבחינות מסוימות טוב יותר.

מדוע להציג גודל שני? כי אנרגיה לבדה אינה יכולה להגיד לך כיצד התנגשות תסתיים. שני כדורי ביליארד ניגשים זה אל זה במהירויות שוות ונגדיות של 3 מטר/שנייה. לאחר שהם מתנגשים, האנרגיה הקינטית הכוללת ידועה (אם ההתנגשות אלסטית) אך לא כיצד היא מתחלקת ביניהם. הם יכולים לעצור. הם יכולים להחליף מהירויות. הם יכולים להתרחק בזוגות מהירויות אחרים. אנרגיה מצמצמת את האפשרויות אך אינה מקבעת את התשובה.

תנע — כן. במקרה הסימטרי הראש־בראש, התנע הכולל לפני ההתנגשות הוא אפס — m·(+3) + m·(−3) = 0. גם לאחר ההתנגשות הוא חייב להיות אפס. לכן כל מהירויות סופיות שהן חייבות להופיע בזוגות שווים ונגדיים. בשילוב עם שימור אנרגיה למקרה האלסטי, הדבר מכריח את הפתרון היחיד: הם מחליפים מהירויות, −3 ו־+3. התנע מסלק את הדו־משמעות. כל בעיית התנגשות, מביליארד ועד שיגורי טילים, מצטמצמת להחלת שני הספרים יחד.

תנע הוא מכפלת המסה במהירות:

זהו וקטור — יש לו גם גודל וגם כיוון. בבעיות חד־ממדיות עוקבים אחר סימנים; בתלת־ממד מדובר בשלשה (p_x, p_y, p_z). עצם של 1 ק"ג הנע במהירות 3 מטר/שנייה מזרחה יש לו תנע של +3 ק"ג·מטר/שנייה מזרחה. אותו עצם הנע 3 מטר/שנייה מערבה יש לו תנע של −3 ק"ג·מטר/שנייה.

חוק השימור הוא:

לכל מערכת סגורה — כזו שאין כוחות חיצוניים הפועלים עליה. כוחות פנימיים בין החלקים אינם משנים דבר: אם חלקיק A דוחף את חלקיק B, אז לפי חוק שלישי של ניוטון חלקיק B דוחף בחזרה את A בכוח שווה ונגדי, והסכום p_A + p_B אינו משתנה. זו בעצם כל משמעות החוק: חוק שלישי של ניוטון, שהוּעלה מטענה על כוחות לטענה על אינטגרלי־הזמן של כוחות.

הקשר לחוק השני של ניוטון ישיר. F = m·a ניתן לרישום כ־F = dp/dt — כוח הוא קצב השינוי של תנע. כוח חיצוני אפס פירושו dp/dt = 0, כלומר p = קבוע. שימור תנע הוא הגרסה האינטגרלית בזמן של F = m·a כש־F חיצוני נטו הוא אפס.

לדקארט הייתה הרעיון תחילה, בשנת 1644, והוא קרא לו quantitas motus — כמות התנועה. הוא חשב שזה החוק העמוק ביותר של הטבע, אמירה ישירה על האופן שבו האל שומר את היקום. הוא בעיקר צדק. מה שהוא טעה בו זו ההגדרה: הוא השתמש ב־|m·v|, זורק את הכיוון, והגדרה זו אינה משתמרת. בתוך דור, הויגנס וג'ון וואליס באופן בלתי תלוי תפסו את השגיאה, הוסיפו את הסימן (או, בדו־ממד, את הווקטור), והפכו את החוק לתקף באמת. ניוטון כתב זאת ב־Principia כאבן יסוד, ושם הוא חי מאז.

אם כוח F פועל על גוף למשך זמן Δt, הוא מעניק מתנע J = F·Δt. לפי F = dp/dt, המתנע הוא בדיוק השינוי בתנע:

לכוחות משתנים, J = ∫F·dt, כאשר האינטגרל נלקח על פני משך הכוח. התובנה היא שמה שמשנה תנע הוא האינטגרל של הכוח על פני הזמן, ולא כוח השיא — ועובדה זו עומדת בבסיס כל יחידת בטיחות הנדסית.

כריות אוויר הן האיור הקלאסי. לעצור נוסע של 70 ק"ג הנע ב־20 מטר/שנייה מחייב הסרת 1400 ק"ג·מטר/שנייה של תנע. הסך הכולל קבוע. מה שניתן לשלוט בו הוא באיזו מהירות זה קורה. פגיעה בלוח מחוונים מפלדה מתרחשת אולי ב־5 מילישניות — כוח ממוצע של 280 קילו־ניוטון, כ־400G, עצמות מתנפצות. פגיעה בכרית אוויר מתרחשת אולי ב־100 מילישניות — כוח ממוצע של 14 קילו־ניוטון, שריד. אותו מתנע, משך זמן שונה, כוחות שיא שונים דרמטית. כל אזור קריסה, ריפוד קסדת קצף, מצנח ובולם זעזועים לגלגלי נחיתה מבצעים אותו טריק: החליפו Δt ארוך בכוח F נמוך, במחיר של מרחק תנועה.

אותה לוגיקה, בכיוון הפוך: מהלומת קראטה, חבטת גולף, או הצליפה של שוט — רוצים Δt קצר מאוד — להכות חזק ומהר — כדי להפיק את הכוח הגדול ביותר מתקציב מתנע מוגבל. לתפוס ביצה בשתי ידיים שנמשכות מעט לאחור במהלך התפיסה נותן לך Δt ארוך ושומר על הביצה שלמה. לתפוס אותה מול קיר נותן Δt קצר וחלמון שבור.

למערכת של כמה חלקיקים יש נקודה מיוחדת יחידה הנקראת מרכז המסה, המוגדרת על ידי

שהיא במילים הממוצע המשוקלל־במסה של מיקומי כל החלקים. נגזור את שני הצדדים ביחס לזמן ונקבל

כאשר M היא המסה הכוללת. התנע הכולל של מערכת שווה בדיוק למסה הכוללת כפול מהירות מרכז המסה שלה. אם סך הכוחות החיצוניים הוא אפס, התנע הכולל משומר, ולכן מרכז המסה נע בקו ישר במהירות קבועה — לנצח.

זו אמירה רבת־עוצמה באופן מדהים. שקלו רימון שנזרק בקשת ומתפוצץ באמצע הטיסה למאה שברים הטסים לכל הכיוונים. לכל שבר יש מסלול מסובך משלו. אבל מרכז המסה של כל השברים, בסיכום, ממשיך לאורך הפרבולה המקורית כאילו ההתפוצצות לא התרחשה — הכוחות הפנימיים של ההתפוצצות מתבטלים בזוגות. התעלם מהתנגדות אוויר, ומרכז הנחיל נוחת בדיוק במקום שבו היה נוחת הרימון הלא־מתפוצץ.

צוללנים משתמשים באותו טריק. צוללן שמבצע סלטה בכיווץ מסתובב במהירות באוויר, אבל מרכז המסה שלו עוקב אחר פרבולה מושלמת מקרש הקפיצה למים. האיברים מתווים עקומות מסובכות; מרכז המסה לא. טרמפוליניסטים, מתעמלים ואסטרונאוטים כולם מסתמכים על אותה הפרדה: סידור פנימי מחדש משנה את תנועת כל אחד, אך אינו יכול לעולם להזיז את מרכז המסה של המערכת.

שני עצמים נפגשים, מחליפים כוח במשך Δt קצר, וממשיכים בדרכיהם. בין המגע הראשון למגע האחרון, לא פועלים כוחות חיצוניים (ניתן להתעלם מכבידה וחיכוך בזמן ההתנגשות הקצרה). אז תנע משומר. זה תמיד נכון.

מה שלא תמיד נכון הוא האם אנרגיה קינטית משומרת. שלושה משטרים:

התנגשות היא אלסטית אם האנרגיה הקינטית משומרת. כדורי ביליארד מתקרבים. כדורי פלדה קשה מתקרבים יותר. פרוטונים מתפזרים מפרוטונים אחרים הם בעצם מושלמים. כדורי גומי קופצניים על רצפה קשה יכולים לשמר 90% מה־KE שלהם לקפיצה.

התנגשות היא פלסטית לחלוטין אם מרבית ה־KE האפשרי אובד — שני הגופים נדבקים יחד ונעים כאחד. מכוניות בתאונת שרשרת, גוש מרק על גוש, חץ במטרה. תנע עדיין משומר, אך KE יורד בגורם שנקבע על ידי יחס המסות. חלק מזה עבר לחום, צליל ועיוות המתכת המעוותת.

בין לבין, רוב ההתנגשויות האמיתיות הן פלסטיות חלקית. הן מאופיינות על ידי מקדם השיבה e, המוגדר כיחס בין מהירות היחס שאחרי ההתנגשות למהירות היחס שלפניה. e = 1 הוא אלסטי, e = 0 הוא פלסטי מושלם, וכל מציאות נופלת בין שניהם. כדור טניס על מגרש קשיח יש לו e ≈ 0.75; כדור בייסבול על מחבט עץ יש לו e ≈ 0.55; גולה שנפלה על בטון יש לה e ≈ 0.9.

החלק את e לאפס ושני הגופים מתמזגים — KE יורד בגורם m_B / (m_A + m_B) יחסית ל־KE ההתחלתי, שהוא החלק שתמיד אובד בהתנגשות פלסטית מושלמת. החלק את יחס המסות למעלה וראה כיצד A קופץ אחורה כשהוא פוגע ב־B כבד בהרבה — ההשתקפות הקלאסית, אותו מנגנון שגורם לכדור טניס לזנק מהיר יותר מהמחבט הנכנס. הסיכום הרץ למעלה נשאר קבוע: תנע קבוע לאורך כל התהליך, ללא קשר ל־e, ללא קשר ליחס המסות. רק בר האנרגיה הקינטית מתכווץ.

המתמטיקה למקרה החד־ממדי שווה לראות. עם A נע במהירות v_A ו־B במנוחה, התנגשות אלסטית נותנת:

שלושה גבולות ראויים לתשומת לב. כאשר m_A = m_B, הכדור הראשון נעצר לחלוטין והשני מקבל את מהירותו — טריק עריסת ניוטון. כאשר m_A ≫ m_B, A בקושי מאט ו־B מזנק ב־2·v_A — זו הסיבה שמקל גולף (כבד) שולח כדור גולף (קל) במהירות של בערך פי שניים ממהירות ראש המקל. כאשר m_A ≪ m_B, A קופץ בחזרה כמעט ב־−v_A ו־B בקושי זז — זו הסיבה שכדור גומי קופץ מקיר.

במערכת סגורה אי אפשר לשנות את התנע הכולל. ניתן, לעומת זאת, לסדר אותו מחדש — לפלוט קצת מסה לאחור, והשאר זז קדימה. כך פועלים טילים.

טיל במסה רגעית M פולט דלק במהירות גזים u (יחסית לעצמו) בקצב זרימת מסה dm/dt. איזון תנע: הדלק היוצא נושא תנע (dm)·(−u) אחורה; הטיל, כדי שתנעו הכולל יישאר ללא שינוי, חייב לקבל תנע M·dv קדימה. על פני מרווח זמן אינפיניטסימלי,

אינטגרציה ממסה התחלתית M₀ עד מסה סופית M:

זו תוצאתו של קונסטנטין ציולקובסקי מ־1903, והיא המשוואה היסודית של טיסה בחלל. כל קילוגרם מטען שתרצה להזיז מחייב אותך להזיז גם דלק — ואת הדלק עבור הדלק, ואת הדלק עבור דלק הדלק, אקספוננציאלית. להגיע למסלול אדמה נמוך דורש בערך 9.4 ק"מ/שנייה של Δv; לטילים כימיים יש מהירויות פליטה סביב 4.5 ק"מ/שנייה; ולכן יחס המסה M₀/M חייב להיות בערך e^(9.4/4.5) ≈ 8. שמונה קילוגרם דלק לקילוגרם טיל־פלוס־מטען על המשטח. לכן טילים הם בעיקר מכלי דלק.

הלוגיקה פועלת גם בהיפוך. אם דיונון רוצה לנוע קדימה, עליו לרסס מים לאחור. אם אדם על זירת קרח ללא חיכוך רוצה לנוע, הוא זורק נעל. שימור תנע הוא הסיבה שאף גוף לא יכול להניע את עצמו קדימה מבלי לדחוף משהו אחר לאחור — אין מנוע קסם, ולעולם לא יהיה.

יש לנו כעת שני חוקי שימור: אנרגיה (מאיור 05) ותנע (מנושא זה). הם אינם סותרים — הם אילוצים בלתי תלויים — ובהחלתם יחד הם מקבעים כמעט כל התנגשות במכניקה קלאסית. כל משחק ביליארד, כל ניתוח תאונת דרכים, כל מסלול טיל וכל כדור קופץ הם איזון של שני ספרי החשבונות האלה.

חוק שימור נוסף בדרכו באיור 07. הוא בן הדוד הסיבובי של מה שעשינו כאן — מסה כפול מהירות הופכת למומנט התמד כפול מהירות זוויתית, ואותו טיעון שקיבע תנע לסימטריה טרנסלציונית יקבע גודל חדש, תנע זוויתי, לסימטריה סיבובית. מחליקים מושכים זרועות, הוריקנים מתהדקים מעל אוקיינוסים מתחממים, פולסארים מסתובבים אלפי פעמים בשנייה לאחר מות כוכב — כל אלה הם שימור תנע זוויתי בפעולה. התבנית ממשיכה לחזור. עד איור 08 סוף סוף נבין מדוע.