משפט נתר

שלושה חוקי שימור, שלושה נושאים. אנרגיה משומרת. תנע משומר. תנע זוויתי משומר. כל חוק היה שימושי באופן עצמאי — השתמשנו בשימור אנרגיה לקבע את מהירות לבנה נופלת, בשימור תנע לפתור התנגשויות, בשימור תנע זוויתי להסביר מחליקים מסתובבים.

עצרו וראו את התבנית. מדוע בדיוק שלושה מהם? מדוע אלה השלושה? מדוע לא גם m²·v, או m·v³, או הגודל m·x² — מדוע הם אינם מאפשרים חוקי שימור? יש אינסוף דברים שניתן לדמיין שיישמרו, והיקום בוחר שלושה. האם יש חוק?

יש. זהו המשפט היפה ביותר בפיזיקה הקלאסית, שהוכח על ידי מתמטיקאית יחידה ב־1918, והוא עונה על השאלה במכה אחת. לכל סימטריה רציפה של מערכת פיזיקלית, יש גודל משומר. זהו. שלושת החוקים שבנינו הם בדיוק שלוש הסימטריות של מרחב וזמן שהיקום כולל, ואין אחרות. אילו ליקום הייתה סימטריה רציפה רביעית, היה לו חוק שימור רביעי. אין לו, ואין לו.

המתמטיקאית הייתה אמי נתר. המשפט נושא את שמה. שאר הנושא הזה הוא מה שהוא אומר ומדוע.

המילה משמשת בצורה רופפת בדיבור יומיומי. בפיזיקה יש לה משמעות מדויקת: למערכת יש סימטריה תחת טרנספורמציה אם החלת הטרנספורמציה אינה משנה דבר בפיזיקה. חוקי התנועה של המערכת המועתקת זהים לחוקי התנועה של המערכת המקורית. ניסוי שנערך לפני הטרנספורמציה וניסוי שנערך אחריה יפיקו תוצאות בלתי ניתנות להבחנה.

שלוש טרנספורמציות מועמדות של העולם הפיזי:

יש אחרות (שיקופים, זוגיות, היפוך זמן), אך שלוש אלה הן הסימטריות הרציפות היסודיות — כלומר, הטרנספורמציה יכולה להיות מוחלת בכל כמות קטנה, לא רק בקפיצות בדידות. רציפות היא מה שמשפט נתר צריך.

עיין בשלושת הפאנלים. המופעים השמאליים והימניים של כל הגדרה הם מערכות זהות, שעברו טרנספורמציה על ידי אחת משלוש הפעולות. הם מתקתקים בסנכרון מושלם כי חוקי התנועה אינם אכפתיים לטרנספורמציה. כל סימטריה — זמן, מרחב, סיבוב — מוצמדת באיור הזה לחוק השימור שנתר מקבעת אליה.

משפט נתר הוא אמירה במכניקה לגרנג'יאנית. (נעשה לגרנג'יאנים כראוי באיור 29; לעת עתה, קבלו שלכל מערכת מכנית אפשר לכתוב פונקציה יחידה L של מיקומים ומהירויות שהתנהגותה על פני זמן מקודדת את כל משוואות התנועה. הפונקציה נקראת ה**לגרנז'יאן**, מוגדרת בדרך כלל כ־L = KE − PE.)

נתר הוכיחה, בצורתו הקלאסית:

"אינווריאנטי" אומר: החלת הטרנספורמציה לא משנה את L. "רציף" אומר שהטרנספורמציה יכולה להיות אינפיניטסימלית. Q הוא המחולל של הטרנספורמציה.

שלושת המקרים הקלאסיים, במילוי:

כל חוק שימור שפגשנו באיור 05, 06, 07 הוא מקרה ספציפי של משפט זה. שלושה נושאים של בנייה זהירה התבררו כשלוש השלכות של משפט יחיד.

קראו את החץ בשני הכיוונים. סימטריה מרמזת על גודל משומר — הכיוון קדימה הוא מה שנתר הוכיחה. אך גם ההיפוך מתקיים: התבוננות בגודל משומר היא עדות ישירה לכך שלמערכת יש את הסימטריה המתאימה. כשאנו מגלים חוק שימור חדש, גילינו סימטריה חדשה של היקום. כשחוק שימור נשבר, גילינו שסימטריה שחשבנו שקיימת אינה קיימת — או שבורה על ידי פיזיקה חדשה.

טווח ההשפעה של המשפט עצום. במכניקה קלאסית הוא מאחד את שלושת חוקי השימור שלנו. באלקטרומגנטיות ובתורת השדה הקוונטי — פורמליזמים שנתר עצמה לא חיה מספיק זמן כדי לראות מפותחים במלואם — הוא מאחד כל חוק שימור בכל הפיזיקה המודרנית.

לכן נתר נקראת לעתים קרובות האישה החשובה ביותר בהיסטוריה של המתמטיקה. משפטה מ־1918 הוא המפתח לכל הפיזיקה המודרנית. בכל מקום שבו גודל משומר, סימטריה מסתתרת איפשהו. בכל מקום שבו סימטריה נשברת, חוק שימור נכשל איפשהו — וכך פיזיקה חדשה מתגלה.

אנו יכולים כעת לענות על השאלה מ־§1. מדוע בדיוק שלושה חוקי שימור קלאסיים?

כי ליקום יש בדיוק שלוש סימטריות רציפות מהסוג הפשוט ביותר: לזמן יש מימד רציף אחד, והוא אינווריאנטי להחלקה לאורכו (סימטריה אחת); למרחב יש שלושה מימדים רציפים, והוא אינווריאנטי להחלקה לאורך כל אחד (שלוש סימטריות, אך לפי מוסכמה מאוגדות לווקטור "תנע" אחד); המרחב אינווריאנטי תחת שלושה צירי סיבוב בלתי תלויים (סימטריית סיבוב אחת, מאוגדת לווקטור "תנע זוויתי"). חבר אותם יחד כ"הזזות־זמן, הזזות־מרחב, סיבובים" ותקבל שלושה מטענים של נתר: אנרגיה (סקלר), תנע (3־וקטור), תנע זוויתי (3־וקטור).

אין אחרים יסודיים במכניקה קלאסית לא־יחסותית. תנופות גלילאיות — מעבר למערכת ייחוס הנעה באחידות — הן סימטריה של הפיזיקה הניוטונית אך אינן מובילות לגודל משומר חדש מהסוג שאנו רוצים; הן נותנות את ההיגד החלש יותר שתנועת מרכז המסה אחידה, כבר מרומז בשימור תנע. ביחסות, תנופות גלילאיות מוחלפות בתנופות לורנץ, ואלה גם אינן מניבות מטען סקלרי משומר במובן הרגיל — במקום זאת הן מסובבות אנרגיה ותנע זה לזה, ולכן ביחסות הם 4־וקטור יחיד.

זוהי הרשימה המלאה למכניקה קלאסית. שלוש סימטריות, שלושה חוקי שימור, לא יותר, לא פחות. נתר מיישבת את הספירה במכה אחת. כל חוק שימור נוסף שתגלו בטבע — של מטען, של איזוספין, של מספר בריון — הם דיווחים על סימטריות עמוקות יותר, לא־מרחביות, שקיומן מקודד־נתר במבנה של התיאוריה.

אמלי אמי נתר נולדה בארלנגן ב־1882, בתו של המתמטיקאי מקס נתר. היא רצתה ללמוד מתמטיקה בתקופה שאוניברסיטאות גרמניות לא קיבלו נשים. היא שמעה הרצאות באוניברסיטת ארלנגן בין 1900 ל־1903 — רק שתי נשים הורשו להיות בכיתה של כמעט אלף גברים — והצליחה להירשם באופן רשמי כאשר הכללים התרופפו לזמן קצר. היא לקחה את הדוקטורט שלה ב־1907 בנושא בתורת האינווריאנטים שאותו כינתה לימים "זבל".

מ־1908 עד 1915 היא עבדה כעוזרת ללא שכר לאביה וייצרה מתמטיקה מקורית שאיש לא שילם לה לעשותה. ב־1915 הילברט וקליין, שזיהו את כישרונה יוצא הדופן, הזמינו אותה לגטינגן — אז הבירה המתמטית של העולם — כדי לסייע להם בניסוח המתמטי של היחסות הכללית. האוניברסיטה סירבה לאפשר לה להחזיק במשרת הוראה בתשלום. תגובתו המפורסמת של הילברט: "אינני רואה שמין המועמדת הוא טיעון נגד קבלתה כ־Privatdozent. אחרי הכל, הסנאט אינו בית מרחץ." היא הרצתה תחת שמו של הילברט במשך שנים.

ב־1918 היא הוכיחה את המשפט שהוא הנצחתה. איינשטיין כתב, בשנה שלאחר מכן, להילברט: "אתמול קיבלתי מהגברת נתר מאמר מעניין מאוד על אינווריאנטיות. אני מוקסם מכך שניתן לטפל בעניינים אלה מנקודת מבט כה כללית. זה לא היה פוגע בישנים בגטינגן לקבל הדרכה ממנה."

היא הפכה ל־Privatdozent רשמית (אך עדיין עם שכר נמוך) ב־1919 ופרופסור עם קביעות ב־1922 — האישה הראשונה שהחזיקה בקתדרה מלאה במתמטיקה בגרמניה. היא ייסדה את האלגברה המופשטת המודרנית, והמבנים שהציגה — חוגי נתר, מודולי נתר — עדיין נושאים את שמה ומהווים את עמוד השדרה של האלגברה הקומוטטיבית. כשהנאצים גירשו יהודים מהאוניברסיטאות הגרמניות ב־1933 היא היגרה לארצות הברית ולקחה משרה בברין מור. היא נפטרה ב־1935, בגיל 53, מסיבוכים לאחר ניתוח ציסטת שחלה.

המשפט שלה לבדו היה עבודה של קריירה שלמה. היא עשתה זאת בזמנה הפנוי. את שאר הקריירה שלה היא בילתה בייסוד הגישה המבנית לאלגברה מודרנית שעיצבה את המתמטיקה של המאה ה־20. איינשטיין, שלא השתמש במילה בקלות ראש, קרא לה "הגאון היצירתי המתמטי המשמעותי ביותר שהופק מאז התחילה ההשכלה הגבוהה של נשים".

זהו הסיום הטבעי של מודול חוקי השימור. בנינו שלושה ספרי חשבונות (איורים 05–07), ואז נתנו להם הסבר יחיד (איור 08). אוסף של חוקים אמפיריים לכאורה בלתי תלויים הפך לשלושה פנים של משפט אחד.

מה הלאה? מודול 3 מתחיל את חקר הסיבוב העמוק יותר. זרקנו לאוויר מומנט התמד, תנע זוויתי ומומנט כוח כאנלוגים סיבוביים של מסה, תנע וכוח — אך לא הסתכלנו עליהם בזהירות. לתנועה סיבובית יש את ההפתעות שלה: כדור חלול מתגלגל איטי יותר ממוצק, סביבון מסתובב עומד במקום שייפול, וכדור הארץ עצמו מתנדנד על צירו כל 433 יום באופן שלא נחזה עד שאוילר פיתח את דינמיקת הגופים הקשיחים בשנות ה־50 של המאה ה־18. תנע זוויתי אינו רק בן הדוד הסיבובי של תרגום; יש לו אופי משלו, וארבעת הנושאים הבאים עוסקים בו.

דבר אחד נוסף לשאת קדימה מנתר. כשנגיע לאיור 28 ונתחיל את עקרון הפעולה המינימלית, נציג את הלגרנז'יאן רשמית, ומשפט נתר יופיע שוב — הפעם כתולדה גיאומטרית ישירה מאינווריאנטיות הפעולה. עד שנסגור את הענף הזה תפגשו את המשפט שלוש פעמים: כתבנית שנצפתה, כמשפט מנוסח, וכעיקרון המובנה בניסוח העמוק ביותר של המכניקה שאנו מכירים. התקדמות זו — תופעה, חוק, מבנה — היא הדרך שבה פיזיקה מתקדמת.