חיכוך וגרר

דיסקת הוקי, שנוחתת עליה חבטה חזקה, מחליקה לכל אורכו של המגרש ונעצרת. מכונית מתגלגלת, בולמת, נעצרת. מטבע מסתובב על שולחן מתנדנד כמה שניות ומתיישב. בכל אחד מהמקרים התנועה מסתיימת. האנרגיה הקינטית שדיסקת ההוקי פתחה בה — מספר מוגדר, בר־חישוב, של ג'אולים — כבר איננה נראית בשום מקום.

אנרגיה אינה נעלמת. זהו הכלל האחד שהיקום מקפיד עליו יותר מכל. אז לאן היא הולכת?

היא הופכת לחום. העבירו את כף ידכם במהירות על פני השולחן ותרגישו את התשובה — חיכוך מחמם את המשטחים הבאים במגע. ברמה המיקרוסקופית שני החומרים הם יער של גבשושיות משוננות; כשהם מחליקים זה כנגד זה, הגבשושיות מתכופפות, נשברות, מתרתכות לרגע ונתלשות, וכל אחד מן האירועים הקטנים הללו שופך כמות זעירה של אנרגיה אל רעידתם התרמית של האטומים המעורבים. אותו סיפור חוזר על עצמו בדיסקת הוקי על קרח, בספר על שולחן, או בצנחן חופשי החותך את האוויר. חיכוך הוא השם שנתנו למנגנון. אין זה כוח בודד אחד — זוהי משפחה שלמה של כוחות, מוצקים המתחככים במוצקים, מוצקים הנעים דרך נוזלים, נוזלים הזורמים מול עצמם. מה שמשותף לכולם הוא אינסטינקט של התנגדות לתנועה והרגל של המרת אנרגיה שימושית לחום.

הנושא הזה עוסק בשני הבולטים במשפחה. חיכוך במובנו המצומצם — בין משטחים מוצקים הבאים במגע — מתנהג בדרך שהייתה ידועה עוד מסביבות 1500 ונרשמה בפשטות בלתי סבירה בידי יצרן מכשירים צרפתי מן המאה השבע־עשרה. גרר — בין מוצק לנוזל שדרכו הוא נע — עדין יותר ונחלק לשני משטרים שונים בתכלית, בהתאם למהירות התנועה. יחד הם מכריעים אם מכונית מתגלגלת או נעצרת, אם כדור צולל כאבן או מרחף כעלה, ואם צנחן נופל מגיע ל־60 מ/ש או ל־200.

דחפו בעדינות ספר כבד. הוא אינו זז. דחפו מעט חזק יותר. עדיין דבר. דחפו חזק עוד יותר, ובאיזו נקודה — פתאום — הוא נכנע, ומתחיל להחליק. ברגע שהוא בתנועה אפשר להרפות מן הדחיפה והוא ממשיך, במאמץ ניכר פחות מזה שנדרש כדי לחלצו.

שני משטרים. שני מקדמים.

חיכוך סטטי הוא הכוח שהמשטח מגייס כדי להחזיק את הספר במקומו בעודו נח. הוא אינו מספר קבוע — הוא בדיוק כמה שנדרש כדי לקזז את מה שאתם מפעילים, עד תקרה מסוימת. התקרה היא μ_s כפול הכוח הנורמלי הלוחץ את שני המשטחים יחד. דחפו בפחות מ־μ_s·N ושום דבר לא קורה. דחפו ביותר והחיכוך הסטטי נשבר, והספר נחלץ.

חיכוך קינטי תופס את מקומו ברגע שהחלקה מתחילה. ערכו הוא μ_k·N, והוא אינו תלוי במהירות — לפחות לא במודל הפשוט של ספר הלימוד. הוא זה המאט גוש נע. ומעל הכל, μ_k קטן מ־μ_s. ברגע שהמגע הסטטי נשבר, המשטחים צריכים פחות כוח כדי להמשיך להחליק משנדרש כדי להניעם. כל מי שהזיז אי פעם רהיט מכיר זאת בידיו: הדחיפה הראשונה של ארגז תקוע היא הקשה מכולן.

שני חוקים אלה נרשמו ב־1699 בידי גיום אמונטון, יצרן מכשירים פריזאי שאיבד את רוב שמיעתו כבר כנער ובילה את כל הקריירה שלו בבחינת מכונות וכלים בזהירות יוצאת דופן. הוא מדד חיכוך בכל צירוף של חומרים שעלה בידו להשיג, והבחין בדבר שנראה מוטעה: כוח החיכוך אינו תלוי בגודל משטח המגע. גוש רחב וגוש צר בעלי אותו משקל היו קשים להזזה במידה שווה. המשקל הוא שקובע, לא שטח הפנים. זהו הראשון, והמפתיע ביותר עד היום, ממה שאנו מכנים כיום חוקי אמונטון. לאונרדו רשם את אותה תצפית עצמה מאתיים שנה קודם בפנקסיו, אלא שאלה מעולם לא יצאו מן המגירה. אמונטון הוא זה שהפך זאת לעובדה מקובלת.

באיור 01 גלגלנו כדור במורד רמפה חסרת חיכוך וחילצנו תאוצה של g·sinθ. זו הייתה פיקציה שימושית. גוש ממשי על רמפה ממשית יש לו חיכוך, והרמפה הופכת לזירה יפהפייה וגלויה של ויכוח בין שתי נטיות מתחרות.

על מדרון בזווית θ, המשקל נחלק לשני רכיבים: משיכה לאורך המדרון בגודל m·g·sinθ, הגורעת את הגוש מטה, ודחיפה ניצבת למדרון בגודל m·g·cosθ, שהיא הכוח הנורמלי שעל המשטח לספק. כוח החיכוך הסטטי המרבי שהמשטח יכול להפעיל הוא μ_s כפול הכוח הנורמלי הזה — כלומר μ_s·m·g·cosθ היא התקרה.

הגוש נשאר במקומו כל עוד המשיכה במורד קטנה מן התקרה:

ה־m·g מצטמצם, ואחרי ניקיון קל:

זו התוצאה כולה. הזווית הקריטית שממנה כל משטח מתחיל להרפות היא פשוט הארקטנגנס של מקדם החיכוך הסטטי שלו. הטו לוח עץ שעליו גוש עץ ושימו לב לזווית שבה הגוש מתחיל להחליק — מדדתם את μ_s ישירות, ללא משקל וללא קפיץ. מהנדסי זיהוי פלילי משתמשים בדיוק בשיטה הזו כדי לאפיין משטחי כביש: הם מטים מזחלת בעלת משקל של צמיג על ציר ארוך וקוראים את הזווית.

גררו את הסליידר של μ כלפי מעלה והזווית הקריטית מטפסת יחד איתו (הקו המקווקו התכול מסמן את הנקודה שבה הגוש יתחיל להחליק). הטו מעבר לקו הזה והגוש נחלץ — ומאיץ אז ב־g(sinθ − μ_k cosθ), הכבידה הנותרת אחרי שהחיכוך הקינטי לקח את חלקו. על מדרון מתון עם חיכוך מספיק, גוש יוכל לשבת שם לנצח. על מדרון תלול מספיק, דבר לא יחזיק אותו.

חיכוך בין משטחים מוצקים הוא בעיה אחת. חיכוך בין מוצק לנוזל הוא בעיה אחרת, והיא מוזרה יותר.

הפילו כדורית מיסב לתוך צנצנת גליצרין. היא שוקעת, לאט, במהירות יציבה. הפילו גרגיר אבק דרך אוויר דומם וצפו בו מרחף כלפי מטה כמעט באותה צורה בדיוק — איטי מאוד, יציב מאוד, ללא כל האצה מובחנת. שני הגופים נמצאים במשטר שבו לנוזל יש זמן לזרום סביבם באופן חלק, שכבה אחר שכבה, מבלי להיקרע לערבולות סוערים. אנו קוראים לזה זרימה למינרית, ובה כוח הגרר הוא פשוט להפליא: פרופורציונלי למהירות.

עבור כדור בפרט, למקדם b יש צורה מדויקת שגזר ג'ורג' גבריאל סטוקס, מתמטיקאי יליד אירלנד בקיימברידג', שב־1851 חישב בדיוק כיצד כדור הנע לאט מטריד את הנוזל סביבו. התוצאה — חוק סטוקס — היא:

η היא הצמיגות הדינמית של הנוזל (מספר קטן מאוד לאוויר, גדול בהרבה לדבש). r הוא רדיוס הכדור. השאר קבועים. כל כוח הגרר הוא פשוט פרופורציונלי למהירות — הכפילו את המהירות, הכפילו את הכוח.

לצורה זו יש השלכה יוצאת דופן: כדור המופל לנוזל צמיג אינו מאיץ לעד. הכבידה מושכת מטה בכוח m·g, והגרר דוחף מעלה בכוח b·v. השניים מתקזזים כשהכדור מגיע למהירות v_t שעבורה m·g = b·v_t. זוהי מהירות סופית:

ברגע שהכדור מגיע ל־v_t הוא מפסיק להאיץ. הכוח השקול הוא אפס, ולפי החוק השני של ניוטון הוא מחליק במהירות קבועה — לנצח, או עד שיגיע לקרקעית הצנצנת. ההתקרבות ל־v_t אינה פתאומית: מן המנוחה, המהירות מטפסת לאורך עקומה מעריכית בקבוע זמן τ = m/b, ומגיעה לכ־63% מ־v_t אחרי τ אחד, 95% אחרי שלושה, 99% אחרי חמישה. זו אותה צורה של התקרבות מעריכית המפעילה מעגלי RC וקפה המתקרר.

סובבו את סליידר הגרר כלפי מעלה — נוזל סמיך יותר, v_t נמוכה יותר, העקומה משתטחת מוקדם יותר. סובבו אותו מטה — הנוזל מידלל, v_t מטפסת, ובדרך לשם העקומה נראית כמעט כקו ישר של נפילה חופשית. בגבול b → 0 חוזרים אל הכבידה הגלילאית הפשוטה: v = g·t, שאינה מתקבעת לעולם.

חוק סטוקס מדויק עבור תנועה איטית בנוזל צמיג. ברגע שמאיצים, הוא חדל מהיות נכון. הגרר על רוכב אופניים, מכונית, כדור בייסבול, צנחן, מטוס נוסעים — אף אחד מאלה אינו מציית ל־F = b·v. הם מצייתים ל

— גרר פרופורציונלי לריבוע המהירות. ρ היא צפיפות הנוזל, A הוא שטח החתך שהגוף מציג לזרימה, ו־C_d הוא "מקדם גרר" חסר ממדים שאוסף לתוכו את כל התלות המסובכת בצורה (כ־0.04 עבור כנף אווירודינמית מתוכננת היטב, כ־1.1 עבור דיסקה שטוחה הפונה לזרימה).

פיזיקלית, שני המשטרים עושים דברים שונים. במשטר האיטי הגוף גורר את הנוזל אחריו — הצמיגות היא מה שעולה באנרגיה. במשטר המהיר הגוף חייב לדחוף מסת נוזל מדרכו, והוא משאיר אחריו עקבה של ערבולים סוערים. האנרגיה הקינטית שנישאת על ידי אותם ערבולים היא המקום שאליו הולכת עבודת הגרר, וגודלה כ־½ρv² ליחידת נפח — מכאן ה־v² בכוח.

המעבר בין שני המשטרים נשלט על ידי מספר חסר ממדים יחיד: מספר ריינולדס, Re = ρ·v·L / η, המודד את היחס בין השפעות אינרציאליות לצמיגיות. ב־Re קטן, הצמיגות שולטת ואנו במשטר סטוקס. ב־Re גדול, האינרציה שולטת ואנו במשטר הריבועי. המעבר יושב בסביבות Re ≈ 1 עבור כדור. גרגיר אבקנים באוויר דומם בעל Re ≈ 10⁻³ — עמוק בתוך סטוקס. כדור בייסבול במעופו בעל Re ≈ 10⁵ — עמוק בתוך הריבועי. המעבר ביניהם הוא המקום שבו דינמיקת הנוזלים של העולם האמיתי נעשית מעניינת, והוא הנושא שישוב במודול 7.

הציגו את כוח הגרר מול המהירות על צירים לוגריתמיים ושני המשטרים יהפכו לקווים ישרים. סטוקס (שיפוע 1) שולט משמאל. ניוטון (שיפוע 2) תופס פיקוד מימין. הכוח הכולל — מה שגוף אמיתי מרגיש בפועל — עוקב אחר הגדול מבין השניים, עם כיפוף חלק בנקודת המפגש. הזיזו את הסליידרים כדי להטות את המאזן: נוזל צפוף יותר מגביר את המונח הריבועי; נוזל צמיג יותר מגביר את הליניארי. הברך ביניהם היא הסימן האיכותי של מעבר ריינולדס.

ניוטון כבר רשם צורה מוקדמת של החוק הריבועי ב־Principia, בספר השני, המוקדש כולו לתנועת גופים דרך תווכים מתנגדים. הוא הסיק, בצדק, שהתנגדות האוויר צריכה להיות פרופורציונלית לצפיפות התווך, לשטח החתך של הגוף ולריבוע המהירות. הוא אחז בתמונה הפיזיקלית הנכונה: הגוף פוגע ביחידת זמן בעמודת נוזל שמסתה היא ρAv, ומעניק לה מהירות מסדר גודל של v — כך שהעברת התנע ביחידת זמן, שהיא הכוח, עולה כ־ρAv². הגורם של ½ C_d הוא עידון מן המאה העשרים שמטפל בצורה ובמבנה העקבה. התלות היסודית — v² — היא של ניוטון.

הקדשנו את כל הנושא הזה להתייחסות אל החיכוך כאל מטרד — הדבר שעוצר תנועה, מחמם שולחנות, ומבזבז את האנרגיה של דיסקות הוקי. זו אחת הדרכים לראותו. האחרת היא שהחיכוך הוא מה שמאפשר הכול.

צעדו על רצפה. מה מניע אתכם? דחפו את רגלכם לאחור אל הקרקע והקרקע דוחפת את רגלכם קדימה — זהו החוק השלישי של ניוטון בפעולה, אבל הוא עובד רק משום שיש חיכוך בין נעליכם לרצפה. הסירו את החיכוך — עמדו על קרח רטוב, או בגרביים על פרקט מצוחצח — והניסיון נכשל. רגלכם מחליקה. אין תנועה קדימה. אסטרונאוטים על הירח נראים קומיים חלקית משום שלרגולית יש לכידות מועטה מאוד, והם מחליקים יותר משהם צועדים.

כל חפץ שאינכם אוחזים בו ברגע זה מוחזק במקומו על ידי חיכוך סטטי. הספר על המדף מנסה, באופן קטן, ליפול — הדחיפות הזעירות של זרמי האוויר, הרעידות של הבניין, ההטיה הקלה של המדף — והחיכוך הסטטי הוא מה ששומר עליו שם. אותו דבר נכון לגבי הספרים הערומים על הרצפה. השטיח מתחת לשולחן. הברגים שבקיר. ללא חיכוך סטטי, העולם לא היה נשאר במקומו.

הכתיבה בעיפרון נשענת על חיכוך. חוד העיפרון מגרד שכבות דקות של גרפיט אל הנייר — הבלאי של החיכוך הוא בדיוק מנגנון הסימון. בלמים נשענים על חיכוך. צמיגים נשענים עליו — מכונית מתעקלת משום שהגומי אוחז בכביש; צמיג קירח בגשם אינו אוחז, ואתם מחליקים. מיתרי קשת על כינור. אחיזת יד. שרוכי נעליים המחזיקים קשר. ולקרו. טיפוס. הכול חיכוך.

אם רוצים באמת להעריך את החיכוך, הביטו במה שאנו עושים כשאיננו רוצים בו. רכבת מאגלב מרחפת ציפורן אחת מעל הפסים ויכולה לנסוע מהר מכל רכבת גלגלים משום שאין חיכוך גלגול. מחליקיים על קרח ממיסים שכבה זעירה של קרח תחת הלהב, מפחיתים את החיכוך בסדר גודל, והמחליק גולש. מסב כדורים ממיר חיכוך החלקה בחיכוך גלגול, הקטן יותר בפקטור עשר או יותר. סיכה — שמן, משחה, גרפיט — היא כל האמנות של הכנסת משהו חלקלק בין שני משטחים כך שיתגלגלו זה על פני זה על סרט דק במקום להישחק. כל חלק מכונה הוא משא ומתן הנדסי בין החיכוך שאנו רוצים (במקום שבו אנו נוגעים בעולם) לבין החיכוך שאיננו רוצים (בכל מקום שבו חלק נע כנגד אחר).

אנרגיה עזבה את דיסקת ההוקי והפכה לחום. אנרגיה עזבה את כדורית המיסב בגליצרין והפכה לחום. אנרגיה עזבה את הצנחן הנופל וטלטלה עקבה סוערת שהפכה בסופו של דבר לחום באוויר. חשבון האנרגיה ממשיך לעבוד — אבל בכל פעם, היעד הסופי זהה, והאנרגיה שהומרה שימושית הרבה פחות ממה שהייתה כשהתחילה.

זהו קצה חוט פתוח. המכניקה הניוטונית, כפי שעשינו אותה עד כה, יש לה שימור בנוי בתוכה עבור מצבים אידיאליים — מסלולים סגורים, מטוטלות ללא איבוד, התנגשויות מושלמות — אלא שבמציאות יש חיכוך בכל מקום, ובמציאות הדברים אינם שבים אל נקודת המוצא עם האנרגיה שפתחו בה. החשבון חייב לעלות רמה. אנו צריכים אמירה כללית השורדת בנוכחות כוחות דיסיפטיביים: משהו שאומר לנו מה נשאר קבוע גם כשגופים בודדים מאבדים את האנרגיה שהייתה להם.

האמירה הזאת היא שימור האנרגיה בצורתו הרחבה ביותר — קינטית, פוטנציאלית, תרמית, כימית, מקורנת, הכל נכנס לתקציב יחיד שהיקום מנהל. במודול הבא נציג את התקציב כראוי: עבודה, אנרגיה קינטית, אנרגיה פוטנציאלית, וחוק השימור הקושר אותן יחד. חיכוך וגרר יתברר שאינם חריגים לכלל אלא דוגמאות שלו — כל ג'אול שאבד לחום הוא ג'אול שהתקציב יודע בדיוק היכן למקם.

האנרגיה של דיסקת ההוקי לא נעלמה. היא פשוט כבר לא דיסקת הוקי.