תנע זוויתי

יש לנו שני ספרי חשבונות כעת. אנרגיה עוקבת אחר דברים שיכולים להפוך לקינטיים — חום, גובה, מתח קפיץ. תנע עוקב אחר מסה כפול מהירות ולא יאפשר למערכת סגורה להסיט את תנועתה הכוללת בלי עזרה חיצונית. הנושא הזה מוסיף ספר חשבונות שלישי, יסודי באותה מידה בדיוק: תנע זוויתי.

הדרך הקצרה ביותר להציגו היא לומר: תנע זוויתי הוא מה שתנע הופך להיות כשמחליפים קווים ישרים במעגלים. במקום שבו תנע לינארי הוא מסה × מהירות, תנע זוויתי לחלקיק נקודתי הוא

כאשר r הוא וקטור המיקום ממוצא נבחר ו־× הוא מכפלה וקטורית. לחלקיק נקודתי הנע במעגל ברדיוס r במהירות משיקית v, זה מתפשט ל־L = m·r·v, המצביע לאורך ציר המעגל לפי כלל יד ימין.

לגוף קשיח מורחב המסתובב במהירות זוויתית ω סביב ציר, אותו סיכום על כל החלקים המרכיבים נותן

כאשר I הוא מומנט ההתמד — משוקלל־מסה לפי ריבוע המרחק מהציר. לדיסק מוצק במסה m ורדיוס r, I = ½·m·r²; לחישוק דק באותה מסה ורדיוס, I = m·r². נתפתח את I בפירוט באיור 10. לעת עתה, קבלו באמונה: I הוא האנלוג הסיבובי של מסה, L הוא האנלוג הסיבובי של תנע, ו־ω הוא האנלוג הסיבובי של מהירות.

חוק השימור, כצפוי, הוא:

כאשר τ הוא מומנט כוח — האנלוג הסיבובי של כוח, שאותו נטפל רשמית באיור 09. שינוי התפלגות המסה של מערכת מסתובבת מבלי להפעיל מומנט כוח חיצוני, ו־ω חייב להשתנות כדי לשמור על המכפלה I·ω קבועה. משפט יחיד זה מסביר מחליקים באמנותיים, קרשי קפיצה, כוכבי נויטרונים, ומדוע חתולים נוחתים על הרגליים.

העמידו מחליק אמנותי על הקרח עם זרועות מושטות אופקית, וסובבו אותו בקצב מתון — שתיים או שלוש סיבובים לשנייה. כעת הוא מושך את זרועותיו לחזהו. הוא מאיץ באופן דרמטי. צופים לא מוכנים תמיד נראים מופתעים; האפקט גדול ונראה לעין.

מה קרה? המסה הכוללת לא השתנתה — אותו מחליק, אותם איברים. לא פעל מומנט חיצוני (הקרח חסר חיכוך בפועל לפיתול קטן־זווית סביב ציר אנכי). לכן תנע זוויתי חייב להישמר: I_לפני · ω_לפני = I_אחרי · ω_אחרי.

אבל על ידי משיכת הזרועות פנימה, המחליק שינה את I. כל המסה הזו בזרועות ישבה ב־r גדול — m·r² בסכום מומנט ההתמד. משוך אותה קרוב יותר לציר ו־r יורד; כל מסת זרוע תורמת m·r'² עם r' קטן יותר. אם הזרועות מתקצרות מכ־70 ס"מ לכ־20 ס"מ מהציר, תרומת הזרועות ל־I יורדת בגורם של (70/20)² ≈ 12. בגלל ש־I ירד בגורם של, נאמר, 2 עד 3 כולל (הטורסו עדיין תורם), ω חייב לטפס באותו גורם. שלושה סיבובים לשנייה נעשים שמונה או תשעה.

החלק את הזרועות פנימה ו־ω מזנק בעוד L נשאר שטוח לחלוטין. אך שים לב למספר השני למעלה: האנרגיה הקינטית הסיבובית ½·I·ω² אינה נשארת שטוחה. בגלל ש־L = I·ω משומר ו־KE = ½·I·ω² = L²/(2I), הקטנת I מגדילה את KE. מאיפה הגיעה האנרגיה הזו? המחליק ביצע עבודה במשיכת זרועותיו נגד הכוח הצנטריפוגלי שהאיברים המסתובבים הרגישו. עבודה זו — שסופקה על ידי שרירי הכתפיים — הפכה לאנרגיה קינטית סיבובית נוספת. כשהוא מותח שוב את זרועותיו, השרירים שלו חייבים לבצע עבודה שלילית נגד הסיבוב, והאנרגיה זורמת בחזרה החוצה.

זהו הראשון מכמה מקומות שבהם תנע זוויתי ו־KE סיבובית אינן מתנהגות בדיוק כפי שהיית מצפה. הם שני גדלים נפרדים שמשומרים או לא, והם מספרים לך דברים שונים.

בשנת 1609, קפלר הכריז על שלושה חוקים בדבר תנועות הכוכבים. הראשון אמר שהם נעים על אליפסות. השלישי קשר ריבוע תקופה לחזקה שלישית של ציר חצי־ראשי. שני אלה זוכים לרוב תשומת הלב. אך החוק השני היה פריצת הדרך החישובית האמיתית, והוא אמירה של שימור תנע זוויתי שנכתבה מאה שנים לפני שתנע זוויתי נקרא בשם.

חוק קפלר השני אומר: קו המחבר כוכב לכת לשמש טואטא שטחים שווים בזמנים שווים. באופן שקול, הקצב שבו הכוכב טואטא שטח, dA/dt, הוא קבוע לאורך המסלול — ללא קשר למקום שבו הכוכב נמצא במסלול.

האלגברה לוקחת שלוש שורות. בקואורדינטות קוטביות סביב השמש, חתיכת שטח קטנה היא dA = ½·r²·dθ. נגזור:

כאשר v_משיקי = r·dθ/dt היא המהירות המשיקית. נכפול את הצד הימני ב־m/m:

עם L = m·r·v_משיקי התנע הזוויתי סביב השמש. אז "שטחים שווים בזמנים שווים" אומר dA/dt = קבוע, שאומר L/(2m) = קבוע, שאומר L הוא קבוע. חוק קפלר השני הוא שימור תנע זוויתי טהור — וכך הוא חייב להיות, כי כוח הכבידה על הכוכב מכוון ישירות אל השמש, וכוח מרכזי מפעיל מומנט כוח אפס סביב המרכז, ולכן L סביב השמש אינו משתנה. היופי של מכניקת ניוטון הוא שתוצאה זו עולה ללא כל החישוב המאומץ של קפלר: זו השלכה של שורה אחת מהמבנה של כוח מרכזי.

לקפלר לא היה הגזירה הזו. הוא קיבל את חוקו מכך שהתבונן בנתוני טיכו ברהה על מאדים עשר שנים ושם לב שמאדים נע מהר יותר ליד פריהליון ואיטי יותר ליד אפהליון, בדיוק בתבנית ש"שטחים שווים בזמנים שווים" דורשת. זה היה גילוי אמפירי מטבלאות מספרים. שניוטון יכול לגזור זאת לאחר מכן מעקרונות יסוד היה אחד הטיעונים החזקים ביותר ב־Principia שהרקיעים והמכניקה היומיומית של תפוחים נופלים מצייתים לחוק יחיד.

שימור תנע זוויתי מתרחב לכל גודל. ההשלכות בגדלים קיצוניים מרהיבות.

פולסארים. כוכב בערך במסת השמש, בקוטר 10⁶ ק"מ, המסתובב פעם בחודש, קורס בסוף חייו לכוכב נויטרונים — 20 ק"מ ברוחב, אותה מסה כוללת, אותו תנע זוויתי כולל. מומנט ההתמד I ~ m·R² יורד בגורם (10⁶/10)² = 10¹⁰. המהירות הזוויתית לכן מכפילה את עצמה ב־10¹⁰. סיבוב של 30 ימים הופך לסיבוב של 0.03 שניות. זהו פולסאר, המסתובב עשרות עד מאות פעמים בשנייה. פעימות רדיו מפולסארים הן השעונים היציבים ביותר ביקום — בדיוק כי שימור תנע זוויתי לא השאיר להם ברירה אלא להסתובב מהר כך, בצורה יציבה כך.

צבירה לחורי שחורים. גז נופל לחור שחור רק לעתים רחוקות עושה זאת ישר. כמעט תמיד יש לו תנע זוויתי קטן ביחס לחור. כשהגז נופל פנימה, r מצטמצם, ולכן v חייב לעלות כדי לשמור על L = m·r·v. התוצאה היא דיסק צבירה — מבנה שטוח, מסתובב במהירות, שבו הגז יכול להתמסתח פנימה רק לאט, כי עליו להיפטר מתנע זוויתי (באמצעות מומנטי צמיגות) לפני שהכבידה יכולה למשוך אותו יותר פנימה. תנע זוויתי הוא הסיבה היחידה שחורים שחורים אוכלים לאט במקום בבת אחת.

קרשי קפיצה וגופים נופלים. צוללן העוזב את הפלטפורמה עם תנע זוויתי מסוים סביב מרכז המסה שלו חייב לשמר את ה־L הזה עד שהוא פוגע במים — אין מומנטי כוח חיצוניים שפועלים עליו באוויר. אבל הוא יכול לשנות את I על ידי כיווץ (זרועות לחזה, ברכיים לחזה) או הארכה (פייק מלא). מכווץ, I קטן ו־ω מהיר — הצוללן מסתובב במהירות. מתוח, I גדול ו־ω איטי — הוא נראה כאילו משהה את הסיבוב באוויר. צוללן מיומן עושה שלוש סלטות במצב כווץ, נפתח כדי להרוג את הסיבוב, ונכנס למים בקו ישר. זו כוריאוגרפיה הבנויה כולה על I·ω = קבוע.

תנע זוויתי משומר כאשר המומנט החיצוני על המערכת אפס. כשיש מומנט נטו, תנע זוויתי משתנה, והאנלוג של F = dp/dt הוא:

— מומנט כוח שווה לקצב השינוי של תנע זוויתי. מומנט כוח הוא כוח שמופעל עם מנוף. לכוח F המופעל בנקודה r מציר:

כאשר θ היא הזווית בין השניים. מפתח ברגים באורך 30 ס"מ, נמשך ניצב בכוח של 100 ניוטון, מייצר 30 ניוטון·מטר של מומנט כוח. אותם 100 ניוטון נמשכים מקביל למפתח מייצרים מומנט אפס. מנוף הוא פשוט הגיאומטריה של sin θ: ככל שזרוע המנוף r·sin θ גדולה יותר, הדחיפה יעילה יותר.

שלוש השלכות מוכרות:

שימור תנע זוויתי משלים את הכיסא השלוש־רגלי: אנרגיה, תנע, תנע זוויתי. יחד הם מגבילים כמעט כל מערכת מכנית ביקום.

אבל ביצענו טריק קסם. כל אחד משלושת החוקים הוצג כהשלכה של משהו אחר — אנרגיה מאינטגרל־עבודה של כוח, תנע מחוק שלישי של ניוטון, תנע זוויתי מהעובדה שכוחות מרכזיים לא מפעילים מומנט. מדוע כל שלושת נכונים? מדוע הטבע משמר בדיוק את שלושת הגדלים האלה ולא אחרים?

בנושא הבא סוף סוף נענה על כך. בשנת 1918, מתמטיקאית גרמנית צעירה בשם אמי נתר הוכיחה משפט יחיד — התוצאה החשובה ביותר של חייה — המאחד כל חוק שימור בפיזיקה תחת רעיון אחד. שימור אנרגיה הוא משום שהפיזיקה אינווריאנטית לתרגומים בזמן. שימור תנע הוא משום שהפיזיקה אינווריאנטית לתרגומים במרחב. שימור תנע זוויתי הוא משום שהפיזיקה אינווריאנטית לסיבובים. התבנית שראיתם לאורך שלושת הנושאים האחרונים אינה מקרית; זו הסימטריה העמוקה ביותר בכל הפיזיקה, ויש לה שם: משפט נתר.