לגרנז'יאן

הלגרנז'יאן L של מערכת מכנית הוא פונקציה סקלרית יחידה של הקואורדינטות המוכללות ומהירויותיהן, השווה (במקרה הפשוט ביותר) לאנרגיה הקינטית פחות האנרגיה הפוטנציאלית: L = T − V. ממנו ניתן לגזור את כל משוואות התנועה של המערכת על ידי הטלת הדרישה שהאינטגרל S = ∫L dt (הפעולה) יהיה סטציונרי לאורך המסלול הפיזיקלי האמיתי — עיקרון הפעולה המינימלית.

הפורמליזם פותח על ידי ז'וזף־לואי לגראנז' ב־Mécanique analytique שלו מ־1788 כניסוח מחדש אלגנטי של המכניקה הניוטונית בעזרת קואורדינטות מוכללות. הוא מחליף וקטורים וכוחות בסקלרים ואנרגיות, וכך מפשט את הטיפול במערכות מאולצות (מטוטלות, גלגלים מתגלגלים, מטוטלות כפולות) שבהן חוקי ניוטון נעשים מורכבים להפעלה. משוואות אוילר־לגראנז' המתקבלות, d/dt(∂L/∂q̇) − ∂L/∂q = 0, הן סוסי העבודה של המכניקה הקלאסית המודרנית.

מסגרת הלגרנז'יאן היא גם הסביבה הטבעית של משפט נתר. כאשר הלגרנז'יאן אינווריאנטי תחת טרנספורמציה רציפה, מטען נתר המתאים נשמר. בתורת השדות הקוונטיים אותו אובייקט (מורחב למשתני שדה) מגדיר את התיאוריה כולה: המודל הסטנדרטי מוגדר על ידי כתיבת הלגרנז'יאן שלו. זהו, במובן מדויק, האמירה הקומפקטית ביותר של מה תיאוריה פיזיקלית היא.