שלושת חוקי ניוטון

בקיץ 1665 הגיעה המגפה לקיימברידג'. האוניברסיטה נסגרה. אייזק ניוטון, בן עשרים ושתיים ושנה אחרי תוארו הראשון, רכב הביתה לחוות אמו בוולסת'ורפ שבלינקולנשייר ונשאר שם את מרבית השנתיים הבאות. באותו בית ריק ושקט הוא המציא את החשבון הדיפרנציאלי, פיצח את הרכבו של האור הלבן באמצעות מנסרה, והחל בשרשרת ההיסיקים שתהפוך לגרוויטציה אוניברסלית. הוא כמעט שלא סיפר על כך לאיש. כשהעלה זאת על הכתב עשרים ושתיים שנה מאוחר יותר ב־Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica — ה־Principia — הספר נפתח בשלושה משפטים שהחליפו אלפיים שנה של פיזיקה.

הראשון שבהם הוא אמירה על מה שקורה כשלא קורה דבר.

גוף במנוחה נשאר במנוחה. גוף בתנועה ממשיך לנוע — בקו ישר, במהירות קבועה — לנצח, אלא אם משהו דוחף אותו. זה נשמע מובן מאליו היום. זה לא היה מובן מאליו. אריסטו לימד במשך אלפיים שנה שתנועה דורשת סיבה מתמשכת: עגלה זקוקה לסוסים, חץ זקוק לאוויר הדוחף אותו מאחור, אבן נופלת כי היא מחפשת את מקומה הטבעי במרכז העולם. הפסיקו לדחוף, והעגלה נעצרת. האינטואיציה הזו הייתה מצוינת עבור עגלות; היא הייתה שגויה בכל שאר הדברים.

גלילאו היה הראשון שראה מעבר לה. הוא גלגל כדורים על משטחים מלוטשים ושם לב שככל שהמשטח חלק יותר, כך הם מתגלגלים רחוק יותר. הרחיבו את זה לחלקות מושלמת — ללא חיכוך כלל — והכדור לעולם לא היה נעצר. התנועה אינה מה שדורש הסבר. ההאטה היא הדורשת. ניוטון הוא שהפך את התצפית הזו לעקרון יסוד.

דחפו את מחוון החיכוך לאפס. הגוש, ברגע שהוא נע, ממשיך לנצח. כל נקיק של חיכוך שתוסיפו הוא כוח על הגוש, והגוש מאט בדיוק כפי שהכוח הזה מכתיב. ליקום אין העדפה למנוחה — רק לתנועה אחידה בקו ישר.

החוק הראשון אומר מה קורה ללא כוח. השני אומר מה קורה איתו.

הכוח הפועל על גוף שווה למסה של הגוף כפול התאוצה שהוא מחולל. דחפו משהו, והוא יאיץ. דחפו חזק יותר, הוא יאיץ חזק יותר. דחפו באותה עוצמה על משהו כבד יותר, הוא יאיץ פחות. שלוש אותיות, סימן שוויון אחד, וספר של כל שאר הפיזיקה נובע מכאן.

מה היא מסה? החוק השני הוא גם ההגדרה שלה. מסה היא המספר שאומר לכם כמה עיקש גוף — כמה דחיפה דרושה כדי להשיג שינוי נתון במהירות. כדור באולינג וכדור טניס מרגישים אותו הדבר ביד כשהם במנוחה. דחפו אותם, ותגלו את ההבדל. מסה היא ההתנגדות לתאוצה. היא המידה הכמותית של אינרציה.

מהו כוח? כל דבר שדוחף או מושך. כבידה היא כוח. הכוח הנורמלי מהקרקע הוא כוח. חיכוך הוא כוח. מתיחות בחבל היא כוח. החוק השני אינו מתעניין מהיכן הכוח בא; הוא רק אומר לכם מה הכוח עושה ברגע שהוא שם. בניסוחו המקורי של ניוטון המשוואה הייתה F = dp/dt — כוח הוא קצב השינוי של התנע, כאשר תנע p = m·v. עבור מסה קבועה שתי הצורות זהות. עבור רקטה השורפת דלק, או טיפת גשם הצוברת מים, צורת התנע היא הנכונה.

הזיזו את מחוון הכוח. התאוצה היא בדיוק F/m — ניתן לקרוא אותה מהמסך. הזיזו את מחוון המסה. כבד יותר פירושו איטי יותר. החץ מימין לכדור הוא הכוח; אורך תנועתו בזמן הוא האינטגרל של אותו כוח חלקי המסה. הפיזיקה באמת נכנסת לשורה אחת.

החוק השני של ניוטון הוא המשוואה הנעשית בה הכי הרבה שימוש חוזר בהיסטוריה של המדע. הפילו כדור: a = g. מתחו קפיץ ב־x: a = −(k/m)·x, המתנד ההרמוני הפשוט. שגרו רקטה: a = F_thrust / m_remaining. כל משוואה דיפרנציאלית של תנועה במכניקה הקלאסית מתחילה כאן.

החוק השלישי הוא השקט והמשונה מכולם.

כוחות באים תמיד בזוגות. אם A דוחף את B, אז B דוחף בחזרה את A בכוח שווה בדיוק בעוצמתו והפוך בדיוק בכיוונו. אין דבר כזה כוח בודד. יד הלוחצת על קיר מרגישה את הקיר לוחץ עליה. מנוע רקטה זורק גזים חמים כלפי מטה והגזים זורקים את הרקטה כלפי מעלה. שחיין דוחף את המים אחורה; המים דוחפים את השחיין קדימה. כנף ציפור דוחפת את האוויר מטה; האוויר דוחף את הציפור מעלה. הליכה היא תופעה של החוק השלישי: כף רגלכם דוחפת את הקרקע אחורה, והקרקע דוחפת אתכם קדימה. בלי אותה תגובה, רגליכם היו מסתובבות במקום — כפי שהן עושות על קרח.

שני מחליקים על קרח במנוחה על בריכה נטולת חיכוך. הם נועצים ידיים ודוחפים. הכוח שמחליק השמאל מפעיל על הימני שווה בדיוק בעוצמתו לכוח שהימני מפעיל על השמאלי. אבל מסותיהם עשויות להיות שונות. החוק השני דורש אז שאחרי הדחיפה המהירויות יהיו ביחס הפוך למסות: m_A · v_A = −m_B · v_B. מחליק כבד בקושי נע; קל ממריא. זהו שימור התנע, הנופל מהחוק השלישי עוד בטרם מודול 2 נתן לו שם רשמי.

כדאי לחסל כאן בלבול נפוץ. הזוג "השווה והמנוגד" של החוק השלישי פועל על שני גופים שונים — כוח אחד על A, כוח אחד על B. כדור הארץ מושך תפוח נופל; התפוח מושך בחזרה את כדור הארץ. שני הכוחות אמיתיים. התפוח מאיץ לעבר כדור הארץ ב־9.8 m/s²; כדור הארץ מאיץ לעבר התפוח בקצב קטן מעבר לדמיון, משום שמסתו אסטרונומית. אף אחד מהכוחות אינו מבטל את השני, משום שהם פועלים על דברים שונים.

חוקי ניוטון אינם תקפים בכל מערכת ייחוס. הם תקפים במערכות שאינן עצמן מאיצות.

עמדו ברכבת הנעה במאה קילומטרים לשעה במהירות קבועה על מסילה ישרה לחלוטין. מזגו קפה. הקפה נכנס לספל באותה הצורה שהוא נכנס במטבח שלכם. ז'נגלו כדורי טניס. הם מתעגלים וחוזרים באותה הצורה כמו על מדשאה. מבפנים, אין ניסוי שתוכלו לעשות עם כדורים או קפה או מטוטלות שיאמר לכם אם הרכבת נעה בכלל. זהו עקרון היחסות הגלילאי, והוא תולדה ישירה של החוק הראשון: אם תנועה אחידה מרגישה כמו מנוחה, אז חוקי הפיזיקה אינם יכולים להיות תלויים במהירות שבה המערכת נעה, כל עוד היא נעה באחידות.

עכשיו הניחו לרכבת לבלום חזק. הקפה שלכם נזרק קדימה. כדור על הרצפה מתגלגל. אתם, והקפה, מרגישים כוח המושך אתכם אל חזית הקרון, אף שדבר אינו דוחף אתכם. אותו כוח־מדומה הוא החתימה של מערכת ייחוס לא־אינרציאלית — מערכת המאיצה. חוקי ניוטון, המופעלים בתמימות בתוך מערכת כזו, יגרמו לכם להסיק שרוחות רפאים מושכות דברים. התיקון פשוט: החוקים תקפים רק במערכות הנעות באחידות. קראו למערכות אלו אינרציאליות. כל מערכת הנעה במהירות קבועה יחסית למערכת אינרציאלית היא גם אינרציאלית. מערכות המסתובבות או מאיצות אינן.

פני כדור הארץ הם אינרציאליים בקירוב טוב עבור מרבית הניסויים, אך לא בדיוק — הוא מסתובב פעם ביום. ניסויים קפדניים חושפים את כוחות קוריוליס והצנטריפוגלי המדומים הנובעים מהתייחסות לכדור הארץ המסתובב כאילו היה אינרציאלי. מטוטלת פוקו, שהתנדנדה בפנתיאון ב־1851, הפכה את הסיבוב לגלוי לעין באופן ישיר: מישור התנדנודה מסתובב יחד עם השמיים משום שהקרקע מתחתיה מסתובבת עם כדור הארץ.

איינשטיין ידחוף מאוחר יותר את הרעיון הזה עד גבולו. תורת היחסות הפרטית, ב־1905, שמרה על התצפית של גלילאו — שחוקי הפיזיקה זהים בכל מערכת אינרציאלית — והוסיפה את ההתעקשות שמהירות האור זהה בכל מערכת אינרציאלית. תורת היחסות הכללית, ב־1915, הרחיקה עוד: הכבידה עצמה הופכת לעקמומיות של המרחב־זמן, וגוף בנפילה חופשית נמצא במערכת אינרציאלית. החוק הראשון של ניוטון, בצורתו המודרנית, אומר שגוף שעוזבים אותו לנפשו עוקב אחרי קו ישר במרחב־זמן.

סיפור התפוח הוא חצי מיתוס. ניוטון סיפר אותו בעצמו, בשלהי חייו, לוויליאם סטוקלי בגן בוולסת'ורפ ב־1726. הוא אמר שישב תחת עץ תפוחים כשאחד נפל, והחל לתהות מדוע התפוח נפל ישר למטה לעבר מרכז כדור הארץ ולא הצידה. אותה תהייה — כך מספרים — הובילה לגרוויטציה אוניברסלית. ככל הנראה היה תפוח. לא היה תפוח־על־הראש. והתובנה האמיתית הייתה דקה יותר.

מה שניוטון תפס בשנות המגפה היה שאותו הכוח המושך את התפוח מטה הוא גם זה המחזיק את הירח במסלולו. הירח נופל — בלי הרף, לעבר כדור הארץ — אך תנועתו הצידית מהירה מספיק כדי שכדור הארץ יסטה תחתיה באותו הקצב. הוא נופל ולעולם לא נוחת. המהלך המבריק היה כמותי: אם מניחים שהכבידה נחלשת כריבוע הפוך של המרחק, אז תאוצת הירח ברדיוס המסלולי שלו, בהשוואה לתאוצת תפוח על פני כדור הארץ, צריכה להתאים ליחס שניתן לחשב ממחזור המסלול של הירח. ניוטון עשה את החשבון. זה עבד, בערך — קרוב מספיק, בהתחשב בערך הגרוע שהיה לו לרדיוס כדור הארץ, כדי שידע שהוא צודק.

הוא לא פרסם. במשך עשרים שנה החישוב ישב במגירה. ואז ב־1684 האסטרונום אדמונד האלי — זה ששמו ניתן לשביט — רכב לקיימברידג' עם שאלה שעליה התווכח עם כריסטופר רן ורוברט הוק. הניחו משיכה של ריבוע הפוך אל השמש: איזו צורה ייקחו מסלולי כוכבי הלכת? ניוטון ענה, כמעט בדרך אגב, אליפסה, חישבתי זאת. האלי לחץ עליו לקבל את ההוכחה, חזר שלושה חודשים מאוחר יותר ומצא תשע עמודים של De Motu Corporum in Gyrum, ובילה את שלוש השנים הבאות בדרבון ה־Principia המלא מתוכו על חשבונו שלו.

הוק האמין שהוא הגיע ראשון לחוק הריבוע ההפוך, ומ־1679 כתב לניוטון בתביעה זו. ייתכן שאכן חש בזה — האינטואיציה שלו הייתה יוצאת דופן — אך הוא לא יכול היה להוכיח שהאליפסה נובעת מכך. ניוטון יכול היה, וכן עשה. המריבה ביניהם התחמצה, וכשה־Principia הופיע ב־1687 תרומתו של הוק הוכרה רק בהיסוס. ניוטון האריך אחריו בעשרים וארבע שנים, ומסופר שדאג להסרת הדיוקן היחיד של הוק מהחברה המלכותית.

העבודה האמיתית של וולסת'ורפ, אם כן, לא הייתה רגע של תובנה אלא שנתיים של חישוב סבלני. ניוטון בגיל עשרים ושלוש כבר ידע יותר מכל אדם חי על איך התנועה עובדת — הוא המציא את המתמטיקה שנדרשה לו כדי לתאר אותה, והוכיח, בסתר, שחוק כוח יחיד יכול להסביר הן את הירח והן את התפוח. ה־Principia הוא ההכרזה המאוחרת על תגלית שנעשתה בבית חווה שקט במהלך מגפה.

שלושת החוקים אומרים לכם מה כוחות עושים. הם אינם אומרים לכם מה כוחות הם.

בהינתן כוח, החוק השני של ניוטון מאפשר לכם לחשב את התנועה. בהינתן שני גופים הנעים בדרכים מסוימות, החוק השני מאפשר לכם להסיק את הכוח שחייב היה לפעול. מה שהחוקים לעולם אינם עושים הוא לפרט, מראש, אילו כוחות קיימים בעולם. זה חייב לבוא ממקום אחר — ממדידה ישירה, מתיאוריה, מניסוי.

ניוטון סיפק בעצמו את הדוגמה הגדולה הראשונה: גרוויטציה אוניברסלית. כל זוג מסות מושך זו את זו בכוח פרופורציונלי לשתי המסות והפוך לריבוע המרחק ביניהן. זו אינה הסקה משלושת החוקים. זהו חוק פיזיקלי נוסף, שגילה ניוטון, האומר לכם איזה כוח ספציפי להציב ב־F = m·a כשפועלת כבידה.

חוקי כוח אחרים הגיעו אחר כך. חוק קולון למטענים חשמליים: ריבוע הפוך, כמו כבידה, אך עם סימן. חוק הוק עצמו לקפיצים: F = −k·x, כוח משחזר. חוקי החיכוך של אמונטון: F_friction = μ · N, כאשר N הוא הכוח הנורמלי הלוחץ את המשטחים יחד. חוק סטוקס לגרר צמיג: F = −6π·μ·r·v לכדור איטי בנוזל. כל אחד מאלה הוא תגלית אמפירית המשתבצת במסגרת של ניוטון בתור אגף ימין של החוק השני עבור מצב מסוים. איור 04 יחזיר את החיכוך והגרר, עם כל המנגנון שלהם.

הצניעות הזו היא חוזקם הגדול ביותר של החוקים. הם אינם מתיימרים לדעת הכל. הם אומרים לכם מה לעשות ברגע שאתם יודעים מה הכוח. לאורך שלוש מאות שנה רשימת הכוחות הידועים נכתבה מחדש פעמים רבות — משוואות מקסוול החליפו את חוק קולון; תורת היחסות הכללית החליפה את הכבידה של ניוטון באנרגיות קיצוניות; המודל הסטנדרטי הוסיף את הכוחות הגרעיניים — אך החוק השני, בצורת התנע שלו, שרד כל מהפכה כזו. כשמכניקת הקוונטים הגיעה בשנות ה־1920 היא לא הפכה את F = dp/dt; היא הפכה את שני צידי המשוואה לאופרטורים והמשיכה.

שלושת החוקים, על כל כוחם, עובדים טוב ביותר כשאתם יודעים מהם הכוחות. יש דרך אחרת לעשות מכניקה — דרך שאינה מחייבת אתכם למנות כוחות כלל, והיא תדגול במודול 2.

דחפו כדור במעלה רמפה וצפו בו מתגלגל בחזרה. הדרך של ניוטון: חשבו את רכיב הכבידה לאורך הרמפה, כתבו F = m·a, אינטגרלו. הדרך האחרת: שימו לב שהאנרגיה הקינטית של הכדור בתחתית שווה לאנרגיה הפוטנציאלית הכובדית שהייתה לו בראש, וקראו את המהירות ישירות. ללא כוחות, ללא זמן. רק אנרגיה, פנימה והחוצה.

זהו חוק שימור האנרגיה, והוא שלושת חוקי ניוטון בניסוח מחדש ללא כוחות. שימור התנע, שראינו נובע מהחוק השלישי בסצנת המחליקים, הוא אותו טריק עבור כמות אחרת. שימור התנע הזוויתי מטפל בסיבוב. אמי נתר תוכיח ב־1915 שכל חוק שימור מתאים לסימטריה של היקום — הזזה בזמן עבור אנרגיה, הזזה במרחב עבור תנע, סימטריה סיבובית עבור תנע זוויתי — ולשם מודול 2 חותר.

לפני כן, ישנו חוב שעלינו לשלם. חוקי ניוטון כפי שנוסחו מניחים שאתם יכולים לזהות כל כוח הפועל על גוף. בעולם האמיתי שני כוחות נעדרים באופן בולט מהדיאגרמות האידיאליות שלנו: החיכוך שעצר את הגוש באיור 03א, והתנגדות האוויר המאטה גופים נופלים. איור 04 מחזיר את שניהם.