מומנט התמד

הניחו כדור מוצק וכדור חלול באותה מסה ואותו רדיוס בראש רמפה, ושחררו. הכדור המוצק מגיע לתחתית ראשון. בכל פעם. זה אינו טריק של חומרים — שניהם מתגלגלים ללא החלקה, שניהם תחת אותה כבידה, שניהם מתחילים באותה אנרגיה פוטנציאלית. ובכל זאת אחד מנצח.

הסיבה היא מומנט התמד. שני הגופים ממירים את m·g·h ההתחלתי שלהם של אנרגיה פוטנציאלית כבידתית לתנועה. אבל "תנועה" כוללת שני טעמים: ה־KE התרגומי של מרכז המסה (½·m·v²) וה־KE הסיבובי של הגוף סביב מרכזו (½·I·ω²). אילוץ אי־ההחלקה קושר v ל־ω על ידי v = ω·R, כך ש־½·I·ω² = ½·(I/R²)·v². ה־KE הכולל הוא

הגורם I/(m·R²) הוא גיאומטריה טהורה — זה מה שנקרא מקדם הגלגול. לכדור מוצק זה 2/5; לכדור חלול 2/3. אותה מסה, אותו רדיוס, אותו תקציב אנרגיה — אבל הכדור החלול חייב לאחסן יחסית יותר מה־KE שלו בסיבוב, משאיר פחות לתרגום, כך שמרכז המסה שלו נגמר נע איטי יותר.

זהו הנושא הזה בקצרה: מומנט התמד הוא מה שקובע כיצד המסה מחלקת את המאמץ הסיבובי שלה, וכיצד היא מחלקת אותו תלוי היכן המסה יושבת יחסית לציר.

חמישה גופים, אותה מסה, אותו רדיוס, אותה רמפה. הגוש המחליק (אדום) לא מסתובב כלל, כך שכל ג'אול של PE הופך ל־KE תרגומי — הוא מנצח. כדור מוצק (2/5) שני. החישוק הדק (1) אחרון: כל המסה שלו נמצאת ברדיוס המרבי, כך ש־I = m·R², והוא מבזבז חצי מה־KE שלו על סיבוב. הסדר הוא חמור: מקדם גלגול קטן → מהיר; מקדם גלגול גדול → איטי. אף אחד מהגופים לא אכפת לו מהמסה הכוללת שלו (ה־m מתבטל מהתאוצה), רק איך המסה הזו מחולקת.

לגוף קשיח רציף, מומנט ההתמד סביב ציר הוא

כאשר r הוא המרחק הניצב מכל יסוד מסה dm לציר. ה־r² הוא מה שהופך הכל למעניין. הכפלו את המרחק מהציר והתרומה ל־I עולה פי ארבעה. אז הזזת מסה ממקום קרוב לציר למקום רחוק עולה ביוקר — מבחינת מומנט התמד.

כמה תוצאות מפתח לגופים סביב ציר הסימטריה שלהם:

כל אחת היא אינטגרל. ה־2/5 של הכדור מגיע מאינטגרציה של r²·dm בקואורדינטות כדוריות לצפיפות אחידה ρ = m/(4πR³/3); הגורם נושר אחרי שני עמודי אלגברה. הגורם 1/12 למוט הוא מאינטגרציה של x² מ־−L/2 עד L/2 עם מסה קבועה ליחידת אורך. התוצאות מופיעות בטבלאות ספרי הנדסה בדיוק כי האינטגרלים האלה עולים כל הזמן ואף אחד לא רוצה לבצע אותם שוב.

גופים לא תמיד מסתובבים סביב צירים דרך מרכז המסה שלהם. מטוטלת מתנדנדת סביב הציר שלה; גלגל עשוי להסתובב סביב נקודה מחוץ לסרן שלו. איך I תלוי בבחירת הציר?

התשובה היא משפט הצירים המקבילים, שהוכח על ידי הגיאומטר השוויצרי יעקב שטיינר בשנות ה־40 של המאה ה־19 (ולכן לעתים נקרא משפט שטיינר): מומנט ההתמד סביב כל ציר שווה למומנט ההתמד סביב הציר המקביל דרך מרכז המסה, פלוס M·d² עבור ההזזה המקבילה d.

זה שימושי באופן מדהים. מוט דק במסה m ואורך L יש לו I_CM = m·L²/12 סביב מרכזו. סביב קצה אחד (d = L/2), משפט הצירים המקבילים נותן I = m·L²/12 + m·(L/2)² = m·L²/3. זו הנוסחה שאתה צריך למוט המתנדנד כמטוטלת מקצה אחד — ואתה מקבל אותה מתוצאת מרכז המסה בשורה אחת, מבלי להצטרך לבצע שוב את האינטגרל.

המשפט הוא השלכה ישירה של הגדרת מרכז המסה: המומנט הראשון של התפלגות המסה סביב מרכז המסה הוא אפס, כך שכשאתה מרחיב ∫(r − d)² dm = ∫r² dm − 2·d·∫r dm + ∫d² dm, האיבר האמצעי מתאפס, ונשאר I_CM פלוס חלק תרגומי טהור M·d². האריתמטיקה נקייה; התשלום המושגי עצום.

לכל גוף קשיח וצמד ציר, קיים מרחק יחיד k — רדיוס הסיבוב — כך ש

באופן שקול, k = √(I/m). זהו המרחק מהציר שבו מסה נקודתית של המסה הכוללת של הגוף תייצר אותו מומנט התמד כמו הגוף המפוזר בפועל.

לכדור מוצק, k = R·√(2/5) ≈ 0.632·R. לכדור חלול, k = R·√(2/3) ≈ 0.816·R. לחישוק, k = R בדיוק. רדיוס הסיבוב הוא תיאור קומפקטי של מספר אחד של כמה מפוזרת מסת הגוף — קיצור שימושי בהנדסה להשוואת גלגלי תנופה, רוטורים וקורות מבניות. לשתי קורות עם אותה מסה אך k שונה יהיה סטייה שונה בכיפוף; לשני גלגלי תנופה באותה מסה אך k שונה יאחסנו כמויות שונות של אנרגיה סיבובית באותו ω.

רדיוס הסיבוב הוא גם הפשטה שימושית כשאתה רוצה להתייחס לגוף מורחב כאל חלקיק נקודה. לגוף המתגלגל ללא החלקה, ה־KE הכולל הוא ½·m·v²·(1 + k²/R²). כל הפרטים המסובכים של צורת הגוף מאוגדים למספר יחיד, k/R, יחס רדיוס הסיבוב לרדיוס החיצוני.

הכל עד כה עוסק בסיבוב סביב ציר קבוע יחיד. לסיבוב סביב ציר שרירותי של גוף תלת־ממדי, I אינו מספר יחיד אלא טנזור מדרגה 2 — טנזור ההתמד — עם תשעה רכיבים:

בהינתן וקטור מהירות זוויתית ω, וקטור התנע הזוויתי הוא L = I·ω — כלומר L עשוי לא להיות מקביל ל־ω. זו ההכללה המפתיעה: באופן כללי, סיבוב גוף תלת־ממדי סביב ציר שרירותי מייצר תנע זוויתי המצביע בכיוון שונה מהסיבוב. אתה יכול להרגיש את זה: סובב ספר סביב צירו הארוך וזה חלק; סובב אותו סביב צירו הקצר וזה חלק; סובב אותו סביב הציר הבינוני וזה מתנדנד בפראות. ההתנדנדות היא תגובת הגוף לחוסר ההתאמה בין ω ו־L.

לכל גוף קשיח יש שלושה כיוונים מיוחדים הנקראים צירים ראשיים — ניצבים הדדית, קבועים בגוף — שסביבם I אלכסוני. סובב את הגוף סביב ציר ראשי ו־L מקביל ל־ω; אין התנדנדות. שלושת הערכים האלכסוניים של טנזור ההתמד במסגרת הראשית נקראים מומנטי ההתמד הראשיים, לעתים נרשמים I_1, I_2, I_3. לגופים סימטריים (קובייה, כדור, גליל) הצירים הראשיים מתיישרים עם כיווני הסימטריה הברורים. לגופים אסימטריים הם קשים יותר למציאה, אבל הם תמיד קיימים.

זה הצד העסקי של דינמיקת גופים קשיחים. משוואות אוילר (שנות ה־50 של המאה ה־18) — שפגשנו בקצרה בנושא תנע זוויתי — הן האנלוג הסיבובי של F = m·a שנכתבו במונחי המומנטים הראשיים, והן שולטות על כל סביבון מסתובב, מחבט טניס מתנדנד, וטלסקופ חלל הבל מתהפך. הן הכלי שנשתמש בו באיור 11 כדי להבין מדוע ג'ירוסקופים מתנהגים כפי שהם עושים, ובאיור 12 כדי להסביר מדוע כדור הארץ עצמו מתנדנד על צירו.

מומנט התמד נמצא בכל מקום בהנדסה ובפיזיקה.

גלגלי תנופה. גלגל תנופה מאחסן אנרגיה קינטית סיבובית ½·I·ω². עבור ω נתון, I גדול יותר פירושו יותר אנרגיה מאוחסנת. עבור אנרגיה מאוחסנת נתונה, I גדול יותר פירושו ω נמוך יותר, מה שמפחית מתחים על מיסבים. מהנדסי־סוללות־גלגל־תנופה דוחפים מסה החוצה לשפה ומשתמשים ברוטורים מסיבי פחמן שיכולים לשרוד מהירויות קצה גבוהות — מהירות שפה של מאה מטרים לשנייה היא טיפוסית. גליל גלגל תנופה של 100 ק"ג בקוטר 1 מטר ב־10,000 סל"ד מאחסן כ־6 קילוואט־שעה — מספיק להפעיל דוד מים לכמה שעות.

מנועים. לגל המרפק של מנוע בוכנה יש גלגל תנופה גדול מותקן בקצה אחד. מטרתו להחליק את פעימות מומנט הכוח מהצילינדרים: בעירה בצילינדר 1 מספקת דחף מומנט עצום, אז כלום, אז צילינדר 2, אז כלום. גלגל תנופה כבד ממצע את כל זה ושומר על המהירות הזוויתית של גל המרפק כמעט קבועה בין שבצי הכוח. בלעדיו, המנוע היה מזדעזע במקום להסתובב.

ציוד ספורט. מחבט בייסבול עם "נקודה מתוקה" ארוכה יש לו מומנט התמד מעוצב סביב ציר התנופה של המחבט (פרק כף יד או ידית): יותר מדי I ותנופה איטית; מעט מדי והתגובה של המחבט למכות מחוץ למרכז מזעזעת. מקלות גולף, מחבטי טניס ומקלות הוקי כולם נמכרים בחלקם על בסיס מאפייני ה־MOI שלהם ("נקודת איזון", "מומנט קוטבי") כי התחושה ביד תלויה ביחס I למומנט האחיזה שהשחקן יכול להפעיל.

ביומכניקה. רץ מכופף ברכיים כדי להקטין את מומנט ההתמד של הרגל סביב הירך. צוללן מתכווץ לכדור כדי להקטין I ולהגדיל מהירות זוויתית. הולך על חבל מותח מוט איזון ארוך אופקית כדי להגדיל באופן דרמטי את I של המערכת שלו סביב החבל המתוח, כך שכל מומנט הטיה ממעידה מייצר רק תאוצה זוויתית קטנה — נותן לו זמן לתקן.

אסטרונומיה. כוכב קורס לכוכב נויטרונים ברוחב 20 ק"מ. I יורד בגורם של כ־10¹⁰; שימור L מאלץ את ω לעלות באותו גורם; סיבוב של 30 יום הופך לסיבוב של אלפיות השנייה. אלה פולסארים. יחס מומנט ההתמד של כוכב לכת I/(m·R²) ניתן למדידה משטיחות הקוטב שלו ותקופת הנטיפה שלו; יחס מאדים (כ־0.366) נמוך מזה של כדור הארץ (0.330), המשקף הבדלים דקים בהפצת מסה פנימית.

בכל מקום שבו מתרחש סיבוב, מומנט ההתמד הוא הגודל ששולט בו. למד את האינטגרלים פעם אחת ויהיה לך חצי מערכת הכלים למכניקת גופים קשיחים לכל החיים.

יש לנו כעת:

זה מספיק להתמודד עם ההשלכות המוזרות ביותר של סיבוב. ג'ירוסקופ לא נופל כשהוא נדחף; הוא נוקף. סביבון מסתובב עומד. ציר הסיבוב של כדור הארץ עצמו נע על שני סולמות זמן שונים — נקיפה של 26,000 שנה וטלטול של 433 יום. אלה הן השלכות של τ = I·α המוחלות על גופים עם טנזורי התמד לא־טריוויאליים, והן הנושאים שלנו לשני הנושאים הבאים. איור 11 הוא ג'ירוסקופים; איור 12 הוא כדור הארץ עצמו.