אנרגיה במסלול

כוכב לכת נע דרך שדה כבידה. יש לו אנרגיה קינטית, משום שהוא נע. יש לו אנרגיה פוטנציאלית כבידתית, משום שהשמש מושכת אותו. והסכום — קינטית ועוד פוטנציאלית — אינו משתנה לעולם.

יוצאים משני חוקי שימור אלה. האנרגיה נשמרת: ½mv² - GMm/r = קבוע. התנע הזוויתי נשמר: L = mr²(dθ/dt) = קבוע. עוברים דרך האלגברה — מחסלים את האיברים הזוויתיים, משתמשים בגאומטריה של האליפסה — ומגיעים לנוסחה יחידה שמקודדת את כל מה שיש לדעת על מהירות מסלולית:

זוהי משוואת ויז-ויוה. היא אומרת: תן לי את המרחק r מהגוף המרכזי ואת חצי הציר הגדול a של המסלול, ואני אגיד לך את המהירות. ללא זוויות, ללא זמן, ללא משוואות דיפרנציאליות. רק r ו-a.

כאשר המסלול מעגלי, r = a בכל מקום, כך שהמשוואה מצטמצמת ל-v² = GM/r — המהירות המסלולית המעגלית המוכרת. כאשר המסלול אליפטי, כוכב הלכת מאיץ בנפילתו פנימה (r מתכווץ, 2/r גדל) ומאט בעלייתו החוצה. האנרגיה הכוללת, -GMm/(2a), נשארת קבועה לאורך הדרך. מה שמשתנה הוא החלוקה בין קינטית לפוטנציאלית.

השם "ויז ויוה" — כוח חי — מקורו אצל לייבניץ, שטען בשנות ה-1680 כי המדד האמיתי לתנועה הוא mv², ולא התנע הדקארטי mv. הוא צדק חלקית: מה שחשוב לדינמיקה המסלולית הוא ½mv², אך התובנה שתנועה נושאת גודל סקלרי הפרופורציוני לריבוע המהירות הייתה של לייבניץ, והשם נותר.

ראה זאת בפעולה. כאשר כוכב הלכת חולף דרך הפריהליון, האנרגיה הקינטית מזנקת והאנרגיה הפוטנציאלית צוללת. באפוהליון ההפך. הסכום לעולם אינו מתנודד.

האנרגיה הכוללת של מסלול קפלריאני היא:

באליפסה, a חיובי וסופי, ולכן E שלילי. אנרגיה כוללת שלילית פירושה שהגוף כבול — אין לו מספיק אנרגיה קינטית כדי להימלט מבאר הכבידה. הוא יקיף לנצח.

אך מה אם תעניק לגוף מהירות רבה יותר? ככל שמגדילים את מהירות השיגור, המסלול נמתח. חצי הציר הגדול a גדל. האנרגיה E = -GMm/(2a) זוחלת לעבר האפס. בסף הקריטי, a שואף לאינסוף — המסלול כבר אינו אליפסה אלא פרבולה. אנרגיה כוללת: אפס מוחלט. הגוף מגיע לאינסוף כאשר מהירותו השיורית אפס. הוא נמלט, אך בקושי.

דחוף מעבר לכך, ו-E הופכת לחיובית. כעת המסלול הוא היפרבולה — עקומה פתוחה. הגוף מגיע מאינסוף, חולף על פני המסה המושכת, ויוצא לאינסוף שוב במהירות ששופעת כוח. אסטרואיד במסלול היפרבולי סביב השמש הוא בעל E > 0 ולא ישוב לעולם. 'אומואמואה, המבקר הבין-כוכבי הראשון שאושר והתגלה ב-2017, נע בדיוק במסלול כזה.

האקסצנטריות מספרת את הסיפור: e < 1 היא אליפסה, e = 1 היא פרבולה, e > 1 היא היפרבולה. גרור את המחוון וראה כיצד המסלול משתנה בין שלושת המשטרים.

הצב E = 0 במשוואת ויז-ויוה — הסף בין הכבול לחופשי. זה נותן v² = 2GM/r, או:

זו היא מהירות המילוט: המהירות המינימלית הדרושה לעזוב שדה כבידה לצמיתות, מנקודת התחלה במרחק r. ראויים לציון כמה דברים.

ראשית, היא תלויה רק ב-r, ולא בכיוון. כדור שנורה אופקית במהירות המילוט משרטט פרבולה שאינה שבה לעולם, בדיוק כמו אחד שנורה ישר למעלה. הפרבולה היא צורה שונה מאוד ממסלול רדיאלי, אך שתיהן מגיעות לאינסוף.

שנית, מהירות המילוט גדולה פי √2 מהמהירות המסלולית המעגלית באותו רדיוס. כדי לעבור ממסלול מעגלי אל מילוט, עליך להגדיל את מהירותך בפקטור של כ-1.414 — תוספת של 41%.

שלישית, המספרים גדולים. לפני כדור הארץ, v_esc ≈ 11.2 ק"מ/ש — פי 33 ממהירות הקול. לצדק, 59.5 ק"מ/ש. לשמש, 618 ק"מ/ש.

יש דקות בקנה המידה של מערכת השמש. מהירות המילוט מהשמש במרחק המסלולי של כדור הארץ (1 יחידה אסטרונומית) היא כ-42.1 ק"מ/ש. אך כדור הארץ עצמו כבר נע במהירות 29.8 ק"מ/ש. אם תשגר גשושית בכיוון תנועת כדור הארץ, תקבל את 29.8 ק"מ/ש הללו חינם. עליך לספק רק את ההפרש: בערך 12.3 ק"מ/ש מעבר למהירות המסלולית של כדור הארץ (ועוד 11.2 ק"מ/ש כדי להימלט מבאר הכבידה של כדור הארץ עצמו). כל תקציב משימה בין-כוכבית מתחיל מחישוב זה.

נניח שאתה במסלול מעגלי נמוך ואתה רוצה להגיע לגבוה יותר. תוכל להפעיל את מנועיך באופן רציף, אך זה שורף כמויות אדירות של דלק. יש פתרון אלגנטי יותר, שפורסם ב-1925 על ידי ולטר הוהמן — ארכיטקט מאסן, לא מהנדס תעופה וחלל — בספר דק בשם Die Erreichbarkeit der Himmelskörper (היכולת להגיע לגרמי השמיים).

מעבר הוהמן משתמש בדיוק בשני תמרוני הנעה ובשלושה מסלולים:

תמרון 1 — בפריאפסיס של המסלול הפנימי. החל את ויז-ויוה פעמיים: פעם אחת עבור המסלול המעגלי (v₁ = √(GM/r₁)) ופעם עבור אליפסת המעבר באותה נקודה (v_t1 = √(GM(2/r₁ - 1/a_t)), כאשר a_t = (r₁ + r₂)/2). ההפרש Δv₁ = v_t1 - v₁ הוא התמרון הראשון.

הסקה. החללית עוקבת אחר אליפסת המעבר — חצי מסלול אליפטי — מהפריאפסיס (המעגל הפנימי) אל האפואפסיס (המעגל החיצוני). ללא צריכת דלק.

תמרון 2 — באפואפסיס של אליפסת המעבר. החללית מגיעה לרדיוס המסלול החיצוני אך איטית מדי למסלול מעגלי שם. תמרון שני Δv₂ = v₂ - v_t2 הופך את המסלול למעגלי.

העלות הכוללת: Δv = Δv₁ + Δv₂. זהו המעבר האופטימלי בדלק בעל שני תמרונים בין מסלולים מעגליים קופלנריים.

דוגמה: ממסלול כדור ארץ נמוך (r₁ ≈ 6,571 ק"מ, גובה 200 ק"מ) למסלול גאוסטציונרי (r₂ ≈ 42,164 ק"מ). אליפסת המעבר בעלת חצי ציר גדול a_t = 24,367 ק"מ. ויז-ויוה נותנת Δv₁ ≈ 2.46 ק"מ/ש ו-Δv₂ ≈ 1.48 ק"מ/ש, סך הכל כ-3.94 ק"מ/ש. ההסקה אורכת כ-5 שעות ו-16 דקות — חצי מהמחזור של אליפסת המעבר.

כל לוויין גאוסטציונרי שאי פעם שוגר השתמש בווריאנט של תמרון זה. המתמטיקה היא ויז-ויוה טהורה.

יש דרך לשנות את מהירות החללית מבלי לשרוף כל דלק שהוא: טוס קרוב לכוכב לכת ותן לכבידתו לעשות את העבודה.

במערכת הייחוס של כוכב הלכת, המפגש נראה כמו פיזור אלסטי. החללית נכנסת לספירת ההשפעה הכבידתית של כוכב הלכת במהירות כלשהי, חגה סביב בקשת היפרבולית, ויוצאת באותה מהירות — רק מוסטת בכיוון. לא מתקבלת ולא אובדת כל אנרגיה ביחס לכוכב הלכת.

אך עבור למערכת הייחוס של השמש, והתמונה משתנה. כוכב הלכת נע. אם החללית חגה מאחורי כוכב הלכת (ביחס לתנועתו המסלולית), היא יוצאת מהמפגש מהר יותר במערכת הייחוס של השמש — היא גנבה חלק זעיר מהאנרגיה הקינטית המסלולית של כוכב הלכת. אם היא חגה מלפנים, היא יוצאת איטית יותר, ותורמת אנרגיה לכוכב הלכת.

העברת האנרגיה ממשית. כוכב הלכת מאט בכמות שאינה ניתנת למדידה (מסתו עצומה בהשוואה לחללית). החללית מרוויחה או מאבדת קילומטרים לשנייה.

וויאג'ר 2 היא הדוגמה הקנונית. שוגרה ב-1977 בנתיב שלא היה מגיע לנפטון עם שום טיל שהיה זמין אז, היא השתמשה בסיועים כבידתיים בצדק (1979), שבתאי (1981), ואורנוס (1986) כדי להגיע לנפטון ב-1989. כל חליפה כיפפה את הנתיב והעניקה דחיפה למהירות. בלי סיועים אלה, הגעה לנפטון הייתה דורשת או טיל גדול בהרבה או זמן טיסה הנמדד בעשורים.

הגאומטריה עדינה. חלון השיגור של 1977 ניצל יישור כוכבי לכת המתרחש בערך פעם ב-175 שנה — צדק, שבתאי, אורנוס, ונפטון כולם באותו צד של השמש. גארי פלנדרו, מתמחה קיץ ב-JPL ב-1965, היה זה שהבחין ביישור והציע את "הסיור הגדול".

משימות מודרניות משתמשות בסיועים כבידתיים כדבר שבשגרה. קאסיני חלפה ליד נגה פעמיים, כדור הארץ פעם אחת, וצדק פעם אחת לפני שהגיעה לשבתאי. MESSENGER הקיפה את כדור הארץ פעם אחת, את נגה פעמיים, ואת כוכב חמה שלוש פעמים לפני שנכנסה למסלול סביבו. כל חליפה הייתה חישוב ויז-ויוה שנפתר לאחור: בהינתן מהירות היציאה הרצויה, איזה נתיב גישה דרוש?

משוואת ויז-ויוה היא משוואת האב של טיסת חלל. כל תכנון משימה מתחיל בה. כמה Δv נדרש כדי להגיע למאדים? ויז-ויוה. איזו מהירות דרושה ללוויין בגובה נתון כדי לשמור על מסלול? ויז-ויוה. האם נוכל להגיע לכוכבי הלכת החיצוניים בלי טיל גדול באופן מעכב? ויז-ויוה, בשילוב עם סיועים כבידתיים.

סטארשיפ של SpaceX, אם יגיע ליעדי התכנון שלו, יציב בערך 100 טון במסלול כדור ארץ נמוך. משם, הגעה למאדים דורשת מעבר דמוי-הוהמן — שני תמרונים, משוואה אחת. ה-Δv הכולל מ-LEO למסלול המעבר למאדים הוא כ-3.6 ק"מ/ש. הכניסה, הירידה, והנחיתה במאדים מנוהלות על ידי אווירודינמיקה, אך ההגעה לנתיב הנכון היא מכניקה מסלולית טהורה.

תכנית ארטמיס שולחת אסטרונאוטים למסלול ירחי באמצעות מסלול הילה כמעט-ישר — גאומטריה אקזוטית, אך תקציב האנרגיה עדיין מחושב מוויז-ויוה. טלסקופ החלל ג'יימס ווב יושב בנקודת L2 של שמש-ארץ, 1.5 מיליון ק"מ מכדור הארץ, בנתיב שעלות ה-Δv שלו חושבה מאותה משוואה שניוטון היה מזהה.

מכניקה מסלולית היא הנהלת חשבונות של אנרגיה בשדה כבידה. משוואה אחת, הכתובה בשפה של אנרגיה קינטית ופוטנציאלית, מגלה לך מה אפשרי ומה עלותו. כל השאר — תכנון המשימה, אופטימיזציית הנתיב, חלונות השיגור — הוא הערת שוליים.