וקטור

וקטור הוא האובייקט המתמטי המשמש לתיאור כל דבר שיש לו גם גודל וגם כיוון: מהירות, כוח, תאוצה, העתק, שדות חשמליים ומגנטיים. משורטט כחץ, אורכו מייצג את הגודל וכיוונו מייצג את הכיוון. בשני ממדים או בשלושה, נוח לכתוב וקטור כרשימה סדורה של רכיבים — ההיטלים שלו על הצירים הנבחרים. הגודל משוחזר מהרכיבים באמצעות פיתגורס: |v| = √(vₓ² + v_y² + v_z²).

שתי פעולות שולטות. הראשונה היא חיבור: כדי לצרף שני וקטורים, הניחו אותם ראש לזנב — השקול נמשך מנקודת ההתחלה של הראשון עד לנקודת הסיום של השני. באופן שקול, חברו את הרכיבים. מבחינה גיאומטרית, אם תשרטטו מקבילית שצלעותיה הם שני הווקטורים, השקול הוא האלכסון. השנייה היא כפל בסקלר: מתיחה או כיווץ של וקטור במספר, כאשר סקלר שלילי הופך את הכיוון.

וקטורים הם השפה שבה נכתבת המכניקה הקלאסית ברגע שהתנועה עוזבת את הקו החד־ממדי. למהירותו של קליע יש רכיב אופקי הנשאר קבוע ורכיב אנכי המשתנה עם הכבידה; המהירות הכוללת היא הסכום הווקטורי של השניים, והמהירות הסקלרית היא גודלה. בפיזיקה בעלת ממדים גבוהים יותר — יחסות, אלקטרומגנטיות, מכניקת הקוונטים — וקטורים מתכללים לטנזורים ולווקטורי מצב, אך החיצים הדו־ ותלת־ממדיים האלמנטריים הם עדיין הכלים הפעילים של בעיות היומיום.

רעיון הגודל המכוון היה קיים באופן לא פורמלי ב־Principia של ניוטון כ'מקבילית הכוחות'. הסימון המודרני צעיר בהרבה: ויליאם רואן המילטון הציג את הקווטרניונים ב־1843 כדרך להכפיל גדלים מכוונים תלת־ממדיים, וג'וזיה וילרד גיבס ואוליבר הביסייד בשנות ה־1880 קיצצו את הפורמליזם הקווטרניוני למה שאנו מכנים היום אלגברה וקטורית — מכפלה סקלרית, מכפלה וקטורית, וסימון רכיבים.