טאוטוכרון

בעיית הטאוטוכרון שואלת: האם קיימת עקומה שלאורכה חרוז ללא חיכוך, המשוחרר מכל גובה, תמיד מגיע לתחתית באותו זמן בדיוק? התשובה היא הציקלואידה — העקומה המתווה על ידי נקודה על שפת גלגל מתגלגל.

התוצאה לא-אינטואיטיבית. חרוז המשוחרר ליד ראש הציקלואידה נצרך לעבור מרחק רב יותר, אך התלילות של החלק העליון מאיצה אותו בחדות כזו שהוא מגיע לתחתית באותו הרגע בדיוק כמו חרוז המשוחרר מנקודה בקושי מעליה. שני האפקטים — מסלול ארוך יותר ותאוצה גדולה יותר — מתבטלים בדיוק, עבור כל נקודת התחלה.

הויגנס זיהה את הערך המעשי מיד. מטוטלת רגילה היא רק איזוכרונית בקירוב; מחזורה מתארך ככל שהמשרעת גדלה. אבל אם הבוב מוגבל לנוע לאורך קשת ציקלואידית — על ידי עטיפת החוט סביב לחיים ציקלואידיות בציר — התנודה נעשית איזוכרונית באופן מושלם בכל משרעת. הוא בנה שעונים על עיקרון זה ופרסם את ההוכחה ב-Horologium Oscillatorium.

כריסטיאן הויגנס הוכיח ב-Horologium Oscillatorium (1673) שהציקלואידה היא עקומת הטאוטוכרון. ההוכחה הייתה ציון דרך בחשבון המוקדם של עקומות והובילה ישירות לתורת האבולוטים.