אינטגרל אליפטי

אינטגרל אליפטי הוא אינטגרל מהצורה ∫R(t, √P(t)) dt, שבו P(t) הוא פולינום ממעלה שלישית או רביעית ו-R הוא פונקציה רציונלית. לאינטגרלים אלה לא ניתן להעריך, בדרך כלל, במונחי פונקציות אלמנטריות — הם מגדירים גדלים טרנסצנדנטליים באמת חדשים.

האינטגרל האליפטי המלא מהסוג הראשון, K(k), מופיע בכל פעם שמנסחים את המחזור המדויק של מטוטלת המתנדנדת בזווית סופית. התוצאה הסטנדרטית היא T = 4√(l/g) · K(sin(θ₀/2)), שבה θ₀ היא הזווית המקסימלית. עבור זוויות קטנות K מצטמצם ל-π/2, ומשיב את T = 2π√(l/g) המוכר. עבור זוויות גדולות K גדל ללא גבול ככל ש-θ₀ מתקרבת ל-π, כלומר המחזור מתארך לאינסוף ככל שהמטוטלת מתקרבת לראש.

ניתן לחשב את K(k) ביעילות באמצעות הממוצע האריתמטי-גיאומטרי (AGM): איטר aₙ₊₁ = (aₙ + bₙ)/2 ו-bₙ₊₁ = √(aₙbₙ) החל מ-a₀ = 1, b₀ = √(1 − k²). הסדרות מתכנסות באופן ריבועי לגבול משותף M, ו-K(k) = π/(2M). הדבר הופך את ההערכה המספרית למהירה ומדויקת.