נגזרת

נגזרת היא המתמטיקה של השינוי. אם גודל y תלוי בגודל אחר x, הנגזרת dy/dx אומרת כמה מהר משתנה y כאשר x משתנה בכמות קטנה מאוד. בפיזיקה, הנגזרת החשובה ביותר היא נגזרת לפי הזמן: המהירות היא נגזרת המיקום, התאוצה היא נגזרת המהירות, והכוח — דרך F = ma — מגיע עד הנגזרת השנייה של המיקום עצמו.

גאומטרית, נגזרת היא שיפוע. שרטט עקומה. בחר נקודה עליה. כעת בחר נקודה סמוכה ושרטט את הקו הישר דרך שתיהן — זהו קו חותך, ושיפועו הוא קצב השינוי הממוצע ביניהן. כעת הזז את הנקודה השנייה קרוב וקרוב יותר לראשונה. הקו החותך מסתובב, ובגבול שבו שתי הנקודות מתלכדות, הוא הופך לקו המשיק — הקו הנוגע בעקומה בדיוק באותה נקודה אחת. שיפוע המשיק הוא הנגזרת. ניקול אורסם, במאה הארבע-עשרה, השתמש בדיוק ברעיון השטח שמתחת לעקומת המהירות כדי לגזור את מה שאנו מכנים היום משפט המהירות הממוצעת, הרבה לפני שהחדו"א היה מקצוע פורמלי.

ניוטון ולייבניץ המציאו באופן עצמאי את הנגזרת בשנות ה-1660 וה-1670, כל אחד עם הסימון שלו וכל אחד עם מלחמת הקדימות שלו. ניוטון קרא לזה פלוקציה; לייבניץ כתב dy/dx, וסימנו ניצח. הנגזרת היא חצי מהחדו"א — החצי השני הוא האינטגרל, המבטל אותה. יחד הם השפה המתמטית שבה נכתב כמעט כל חוק בפיזיקה המודרנית.