ציקלואידה

ציקלואידה היא המסלול המתווה על ידי נקודה על שפת מעגל כשהוא מתגלגל לאורך קו ישר ללא החלקה. בצורה פרמטרית, x = r(t − sin t) ו-y = r(1 − cos t), שבהן r הוא רדיוס המעגל המתגלגל ו-t היא הזווית שדרכה הסתובב.

לציקלואידה שתי תכונות פיזיקליות יוצאות דופן. ראשית, היא הטאוטוכרון: חרוז חסר חיכוך המחליק במסלול ציקלואידי מגיע לתחתית באותו זמן בלי תלות במקום ממנו התחיל. שנית, היא הבראכיסטוכרון: מכל העקומות החלקות המחברות שתי נקודות בגבהים שונים, הציקלואידה היא זו שלאורכה חרוז תחת כבידה יורד בזמן המינימלי. יוהאן ברנולי העלה את אתגר הבראכיסטוכרון בשנת 1696; ניוטון, לייבניץ, לופיטל ויעקב ברנולי כולם פתרו אותו.

תכונות אלה הפכו את הציקלואידה למרכזית במתמטיקה של המאות השבע-עשרה והשמונה-עשרה והשפיעו ישירות על התפתחות חשבון הווריאציות.