וקטורים ותנועת קליע

פגז תותח עוזב את לוע התותח. הוא מטפס, מתעקל, ונופל. שאלו כל תותחן מהרנסאנס איזה מסלול הוא משרטט, ותקבלו תריסר תשובות שונות: קו ישר שנשבר לפתע, משולש, חצי מעגל שכוב על צידו. טרטאליה, בשנת 1537, שרטט דיאגרמה המראה מקטע עולה, ואז אמצע מעוקל, ואז צלילה יורדת — שלוש תנועות נפרדות שנתפרו זו לזו. איש לא הצליח להסכים על הצורה.

בספרו האחרון, שיחות על שני מדעים חדשים (1638), הכריע גלילאו את העניין ברעיון יחיד. הוא דמיין כדור המתגלגל אופקית מעבר לשפת שולחן. כדור שני, באותו גובה, הושמט ישר למטה באותו רגע. הכדור המתגלגל נע הצידה וגם נופל; הכדור המושמט רק נופל. אם תאזינו לחבטה, הם נוחתים באותו רגע בדיוק.

התנועה האופקית אינה מאטה את התנועה האנכית, והתנועה האנכית אינה מאטה את האופקית. שני הכיוונים מתעלמים זה מזה. כדור הנופל תוך כדי תנועה הצידה הוא פשוט כדור נופל, בתוספת כדור הנע הצידה, כאשר שתי התשובות ערוכות זו על גבי זו.

זה הטריק כולו. בעיה דו־ממדית קשה אחת הופכת לשתי בעיות חד־ממדיות קלות. אנכי: נפילה חופשית, שאותה כבר פתרנו באיור 01. אופקי: מהירות קבועה, משום שבריק אין כוח הפועל הצידה. פתרו כל אחת בנפרד, ואז הדביקו אותן חזרה יחד — ובידכם התנועה השלמה.

גלילאו דחף את ההיגיון עד למסקנתו: המסלול המשולב הוא פרבולה מדויקת. זהו המסלול הראשון בתולדות הפיזיקה שנכתב כמשוואה במקום שצויר מתוך ניחוש.

כדי לערום תנועות בשני כיוונים, דרושה לנו שפה דחוסה לגדלים שיש להם גם גודל וגם כיוון. השפה הזו היא ה**וקטור**.

וקטור הוא חץ. יש לו אורך — הגודל שלו — והוא מצביע לאנשהו. כותבים אותו כזוג מספרים, אחד לכל ציר: v = (vₓ, v_y). הגודל הוא אורך החץ, |v| = √(vₓ² + v_y²), משוחזר מפיתגורס. הכיוון הוא הזווית שהחץ יוצר עם האופק.

שתי פעולות עושות כמעט את כל העבודה. הראשונה היא חיבור: כדי לחבר שני וקטורים, הניחו אותם ראש לזנב. התחילו בראשית, שרטטו את החץ הראשון, ואז מקצהו שרטטו את השני. השקול הוא החץ מנקודת ההתחלה לקצה הסופי. באופן שקול, חברו את הרכיבים: (aₓ + bₓ, a_y + b_y). הסדר אינו משנה. אם במקום זאת תשרטטו את המקבילית, השקול הוא האלכסון.

השנייה היא היטל על הצירים — פירוק וקטור יחיד לרכיביו. חץ באורך v בזווית θ מעל האופק בעל רכיב אופקי v·cosθ ורכיב אנכי v·sinθ. היטל הוא פשוט חיבור בכיוון הפוך: כל וקטור הוא סכום חלקיו האופקי והאנכי.

זה רוב הסימון שאנו צריכים. מהירות היא וקטור, תאוצה היא וקטור, מיקום הוא וקטור. משוואות הקינמטיקה מאיור 01 שורדות את המעבר לשני ממדים כמעט ללא שינוי, כל עוד כל משוואה נקראת רכיב אחר רכיב.

ירו כדור מהראשית במהירות v בזווית θ מעל האופק. פרקו את המהירות לרכיבים פעם אחת, ברגע השיגור: vₓ = v·cosθ, v_y = v·sinθ.

כעת פתרו כל ציר בנפרד. על הציר האופקי לא פועל כל כוח — אנו מתעלמים מהאוויר לרגע — כך שהמהירות האופקית נשארת קבועה. על הציר האנכי הכבידה מושכת כלפי מטה בקצב g, כך שהמהירות האנכית פוחתת ליניארית עם הזמן והמיקום האנכי עוקב אחר הריבועיות המוכרת של הנפילה החופשית.

שתי משוואות, אחת לכל ציר. חלצו את t מן הראשונה (t = x / (v·cosθ)) והציבו בשנייה:

זו משוואה ריבועית ב־x. צורת המסלול היא פרבולה — אותה חתך חרוטי שאפולוניוס מפֶּרגה חקר במאה השלישית לפני הספירה מטעמים גיאומטריים גרידא, וכעת מופיע כמסלול תעופה של פגז תותח. המקדם של x² שלילי, ולכן הפרבולה נפתחת כלפי מטה.

החליקו את הזווית ואת המהירות. המהירות האופקית (החץ הירוק) נשארת קבועה כל עוד הכדור באוויר. המהירות האנכית (החץ הסגול) מתחילה חיובית, מתכווצת לאפס בשיא, מחליפה סימן, וגדלה שלילית. הכדור ממשיך לנוע הצידה כל העת — התנועה האופקית אדישה למה שהכבידה עושה על הציר השני.

שלושה מספרים מסכמים את טיסתו של קליע. כמה זמן הוא באוויר? לאיזה גובה הוא מגיע? איזה מרחק הוא עובר לפני שהוא נוחת?

זמן הטיסה הוא ערך t שבו y חוזר לאפס. מתוך y(t) = v·sinθ·t − ½g·t², הפתרון הלא־טריוויאלי הוא:

גובה השיא מושג במחצית הטיסה, כשהמהירות האנכית חוצה את האפס:

והטווח — המרחק האופקי שנעבר לפני שהכדור חוזר לגובה השיגור — הוא המהירות האופקית כפול זמן הטיסה:

הזהות הטריגונומטרית 2·sinθ·cosθ = sin(2θ) מקפלת את התשובה לסינוס יחיד. וערכו של sin(2θ) מרבי כאשר 2θ = 90°, כך שה**טווח** מגיע לשיאו ב־θ = 45°, עם R_max = v²/g. העלו את הזווית — ואתם מחליפים מהירות אופקית בזמן אוויר; הורידו אותה — ואתם מחליפים זמן אוויר במהירות; ב־45° שתי ההשפעות מתאזנות.

אוונג'ליסטה טוריצ'לי, תלמידו האחרון ועוזרו של גלילאו, חיבר את טבלאות טווחי הקליעים הרציניות הראשונות בספרו Opera Geometrica (1644). הוא גם הבחין במשהו יפה גיאומטרית: אם יורים בכל זווית באותה מהירות, משפחת הפרבולות חסומה על ידי פרבולה אחרת — המעטפת, או פרבולת הבטיחות. שום דבר שמחוצה לה אינו בר־השגה; כל דבר שבתוכה ניתן להשיג בשתי זוויות שונות; כל דבר השוכן עליה בדיוק ניתן להשיג רק על ידי ירי ב־45° ביחס לקו אל המטרה. זו הייתה עקומת המעטפת הראשונה שמישהו כתב אי פעם.

הנה הדגמה שכל מורה לפיזיקה אוהב, משום שהתשובה כמעט לא אינטואיטיבית עד שרואים אותה.

קוף תלוי מענף של עץ. צייד עומד במרחק מה על קרקע מישורית, מרים רובה חצים, ומכוון ישירות אל הקוף — בקו ראייה, ישר לאורך החץ מלוע הרובה אל החיה. הקוף, שהוא פיקח מהממוצע, משגיח על ההדק. ברגע שבו הצייד יורה, הקוף משחרר את אחיזתו ומתחיל ליפול.

האם החץ מחטיא מלמעלה, משום שגם הוא צונח בשל הכבידה? מחטיא מלמטה? פוגע? והאם התשובה תלויה בעוצמת היריה של הצייד?

החץ יוצא במהירות v לאורך הקו המצביע אל הקוף. פרקו לרכיבים: הרכיב האופקי נושא את החץ אל קואורדינטת ה־x של הקוף בקצב יציב, והרכיב האנכי נושא אותו כלפי מעלה במדרון שבו היה קו הראייה. אחר כך הכבידה מושכת את החץ למטה ב־g.

אבל הכבידה גם מושכת את הקוף למטה ב־g. החל מאותו רגע, עם אותה תאוצה, הם נופלים יחד. לא משנה מה המרחק האנכי שבו צנח החץ מתחת לקו הכיוון הישר שלו — הקוף צנח בדיוק באותה מידה. שני המסלולים נפגשים — כל עוד התנועה האופקית של החץ מגיעה לקואורדינטת ה־x של הקוף לפני שאחד מהם פוגע בקרקע.

מהירות החץ משנה מתי הם נפגשים, לא אם. חץ איטי לוקח יותר זמן, כך ששניהם צנחו רחוק יותר עד שהחץ מגיע — אך הם צנחו באותה מידה, ולכן הם עדיין נפגשים. חץ מהיר בקושי מספיק לצנוח, והם נפגשים סמוך לענף המקורי. הורידו את המהירות נמוך מדי והחץ פשוט פוגע בקרקע לפני שהגיע, והקוף ממילא פוגע בקרקע ראשון. הגיאומטריה מדויקת מעל פני הקרקע; מתחת לה, שתי הסימולציות מסתיימות.

הנקודה של ההדגמה אינה שזו דרך טובה לצוד קופים. היא שהנפילה החופשית משותפת. הכבידה מתייחסת לחץ ולקוף באופן זהה — תוצאה של אותה שקילות שראינו באיור 01 עם הנוצה והפטיש. שני גופים המשוחררים לנפילה חופשית מגבהים שונים ובמהירויות אופקיות שונות הם, ככל שהדבר נוגע לתנועתם האנכית, באותה הסירה.

קליעים אמיתיים אינם עוקבים אחר פרבולות. כדור בייסבול שנזרק בכוח, קליע אקדח, כדור פינג־פונג על פני חדר, כידון, פריסבי — אף אחד מהם אינו משרטט את חתך החרוט הנקי שהמשוואות מבטיחות. האשם הוא האוויר.

נוע באוויר, והאוויר דוחף בחזרה. הכוח נקרא גרר, והוא גדל עם המהירות: חפצים איטיים מרגישים התנגדות ליניארית עדינה, מהירים מרגישים התנגדות ריבועית קשוחה בהרבה. עבור כדור בייסבול הנע בארבעים מטרים לשנייה, כוח הגרר דומה בגודלו לכוח הכבידה, והמסלול הופך לא־סימטרי בצורה בולטת — הירידה תלולה יותר מן העלייה, והטווח נחתך בפקטור של שניים או יותר.

גם זווית השיגור האופטימלית משתנה. בריק, הזווית הטובה ביותר היא 45°; עבור קליע כבד־גרר כמו כדור בייסבול, האופטימום יורד לערך סביב 35°. ה"זווית הנכונה" של הדוחף הכדור נמצאת נמוכה עוד יותר — קרוב ל־30° — משום שגובה השחרור כבר גבוה מגובה הנחיתה, והגיאומטריה מתגמלת זריקה שטוחה יותר.

ניוטון, הכותב בספר השני של ה־Principia (1687), עשה את הניסיון הרציני הראשון בתנועה מתנגדת. הוא טבלא את מסלולי הקליעים הנעים דרך תווכים בצפיפויות שונות וגזר צורה מוקדמת של חוק הגרר הריבועי. התוצאות היו נכונות איכותית וגסות מספרית; תיאוריה ממשית של גרר אווירודינמי לא תופיע עד המאה התשע־עשרה, עם סטוקס, ריינולדס, והמצאת מכניקת הזורמים כמדע כמותי.

נחזור לכל זאת באיור 04. בשאר הנושא, האוויר כבוי.

הרחבנו את שפת הקינמטיקה מציר אחד לשניים. מיקום הוא וקטור. מהירות היא וקטור. תאוצה היא וקטור. משוואות הקינמטיקה מתקיימות רכיב אחר רכיב. וכוח נקי יחיד — הכבידה, מושכת ישר למטה באותו קבוע g על הכול — מייצר מסלול פרבולי שניתן לפרק, להבין ולמטב בלי חשבון דיפרנציאלי מתקדם יותר מן האלגברה שכבר הייתה בידינו.

שימו לב למה שעדיין לא עשינו. לא הסברנו מדוע חפצים מאיצים מלכתחילה. תיארנו תנועה — קינמטיקה — בלי לשאול על הסיבות. מה זה, פיזיקלית, שגורם לכדור להתעקל כלפי מטה במקום לנסוק בקו ישר? מה גורם למהירותו של כל גוף להשתנות מרגע לרגע?

התשובה היא כוח, והחוקים שהוא מציית להם הם החוקים הממוחזרים ביותר בכל המדע. סטודנט בן עשרים ושלוש מקיימברידג', שנשלח הביתה בשנת מגפה ב־1666, גיבש אותם בחווה בלינקולנשייר. זה איור 03.