כדור הארץ המתנדנד

כדור הארץ הוא גוש מסתובב, כמעט כדורי, מעט שטוח־בקטבים של סלע ומתכת. למטרות דינמיקת גוף קשיח, הוא סביבון מסתובב — גדול מאוד, במסה של 6×10²⁴ ק"ג ותקופת סיבוב של 23 שעות 56 דקות 4 שניות. כל מה שלמדנו באיורים 09–11 על מומנטי כוח, מומנטי התמד, נקיפה ונטיפה חלה עליו, ומייצר סדרה של תנועות נצפות שאסטרונומים חובבים יכולים לעקוב אחריהן ושגאודזיית לוויינים מודרנית מודדת במילימטרים.

יש שלושה מהם להסביר, בשלושה סולמות זמן שונים בפראות:

כל אחד מאלה מספר לנו משהו ספציפי על המבנה הפנימי של כדור הארץ והאינטראקציות הכבידתיות שלו עם הירח והשמש. יחד הם אחת ההדגמות היפות ביותר בפיזיקת מערכת השמש.

כדור הארץ הוא כדור שטוח: הוא בולט במשווה בכ־21 ק"מ יחסית לקטבים, עקב עיוות צנטריפוגלי של סיבובו. בליטה משוונית זו קריטית. היא הופכת את כדור הארץ מכדור מושלם (שהיה סימטרי כבידתית) לגוף עם "מותן" מוגדר — הירח והשמש יכולים להפעיל עליו מומנט כוח.

ספציפית: משיכת הכבידה של הירח חזקה יותר על הצד הקרוב של הבליטה של כדור הארץ מאשר על הצד הרחוק. המשיכה ההפרשית מייצרת מומנט כוח קטן נטו, ומכיוון שציר הסיבוב של כדור הארץ נטוי ב־23.4° למישור מסלול הירח (האקליפטיקה, בקירוב), המומנט אינו לאורך הציר — הוא ניצב לציר ולקוטב האקליפטיקה, מנסה לטלטל את משווה כדור הארץ לתוך מישור האקליפטיקה.

לפי τ = dL/dt (איור 11), מומנט כוח אופקי הניצב ל־L מסובב את L אופקית — הוא אינו משטיח את הטיה. L מטאטא חרוט, וכך גם ציר הסיבוב. הנוסחה לקצב הנקיפה היא:

כאשר G·M/r³ מקודד את עוצמת הגאות של הגוף המפריע במרחק r, J_2 הוא מקדם השטיחות של כדור הארץ (בערך 0.001), ω הוא קצב הסיבוב של כדור הארץ, ו־ε היא הטיה הצירית. חיבור הירח נותן כ־2/3 של קצב הנקיפה הנצפה; השמש נותנת כ־1/3; השניים יחד מניבים 50.3 שניות קשת לשנה, שמגיע לתקופה של 25,800 שנה. יחס 2:1 זה בין התרומות הלבנאריות וההליוצנטריות הוא הסיבה שנקיפת כדור הארץ נקראת "נקיפה לונו־סולארית".

היפרכוס שם לב לה. סביב 130 לפנה"ס, בהשוואת תצפיותיו עם אלה של טימוכארס 150 שנים קודם לכן, שם לב היפרכוס שאורך השמימי של הכוכב הבהיר ספיקה הוסט בכ־2° — שווה ערך לכ־48 שניות קשת לשנה (קיבל את הערך בערך נכון). הוא ייחס זאת נכון לתנועה של השוויונים ולא של הכוכבים. במשך שמונה עשרה מאות שנים "נקיפת השוויונים" הייתה עובדה תצפיתית ללא הסבר מכני. ניוטון, ב־Principia (1687), נתן את ההסבר הפיזי הנכון הראשון — כהשלכה של מומנט הכוח הלונו־סולארי על הבליטה המשוונית — וחישב את הקצב מעקרונות יסוד.

החליפו בין שני המצבים. נקיפה צירית היא החרוט האיטי, ציר הסיבוב שומר על הטייתו של 23.4° אך מטאטא סביב קוטב האקליפטיקה בתקופה של 25,800 שנה. טלטול צ'נדלר הוא התגובה החופשית של גוף קשיח של כדור הארץ לכך שאינו מסתובב בדיוק סביב ציר ההתמד הראשי שלו — מעגל הדוק במיקום הקוטב, בתקופה של 433 יום. השניים הם תופעות שונות לחלוטין בסולמות זמן שונים, מונעות על ידי פיזיקה שונה.

מוטבעות על נקיפת החרוט היציבה יש תנודות קטנות הנקראות נטיפה (לטינית "לנוד"). הן עולות כי מומנטי הכוח האסטרונומיים המניעים את הנקיפה אינם קבועים לחלוטין. במיוחד:

התוצאה היא מערכת של תנודות קטנות של ציר הסיבוב, הגדולה ביותר בתקופה של 18.6 שנים ומשרעת של כ־9 שניות קשת. היא נמדדה לראשונה ב־1728 על ידי האסטרונום האנגלי ג'יימס ברדלי, שחיפש פרלקסה כוכבית ובמקום שם לב שמיקומי הכוכבים כפי שנמדדו מכדור הארץ עברו תבנית שנתית ורב־שנתית מסובכת שהתאימה בדיוק למה שגיאומטריית המסלול הלבנאר חזתה. עבודתו של ברדלי הייתה האישור הניסיוני הישיר הראשון שמכניקת מסלול הירח מתקשרת בצורה הנכונה לסיבוב כדור הארץ — ניצחון של אסטרונומיה ניוטונית של המאה ה־18.

תיאוריית נטיפה מודרנית, שעודנה על ידי מדידות אינטרפרומטריה בבסיס קו ארוך מאוד של קוואזרים, קטלגה מאות רכיבי נטיפה במשרעות עד מיקרו־שניות קשת. כל אחד תואם לתכונה תקופתית ספציפית של גיאומטריית כדור הארץ־ירח־שמש וניתן לחיזוי ממכניקה שמימית כבידתית. העובדה שהתיאוריה והתצפיות מסכימות במיקרו־שניות קשת היא אחת ההדגמות הרגישות ביותר לכך שהכבידה הניוטונית המוחלת על מכניקת גוף קשיח נשארת תיאור טוב באופן יוצא דופן של תנועות מערכת השמש.

טלטול צ'נדלר שונה מנקיפה ונטיפה. אין לו נהג חיצוני. זו תגובה פנימית של כדור הארץ לכך שאינו מסתובב בדיוק סביב אחד מצירי ההתמד הראשיים שלו.

אוילר חזה זאת ב־1758. משוואות הגוף הקשיח שלו אומרות שגוף קשיח שווקטור המהירות הזוויתית שלו אינו מתיישר עם אחד מצירי ההתמד הראשיים שלו עובר נטיפה חופשית — תנודה קטנה של ציר הסיבוב במסגרת הגוף. לכדור הארץ קשיח, חיזויו של אוילר היה תקופה של

כאשר C ו־A הם מומנטי ההתמד הקטביים והמשוונים, ו־(C − A)/A ≈ 0.00328 הוא השטיחות הדינמית של כדור הארץ. במשך מאה שנה מלאה אסטרונומים חיפשו את התנועה של 305 ימים ולא מצאו כלום.

ב־1891 סת קרלו צ'נדלר, אקטואר־אסטרונום חובב מבוסטון, בניתוח נתוני תצפיות קו הרוחב של המאה ה־19, גילה אות תקופתי ברור — אבל ב־433 יום, לא 305. חוסר ההתאמה היה חידה במשך שנים. סיימון ניוקאמב הראה ב־1892 שההבדל נובע מכך שכדור הארץ אינו קשיח לחלוטין: הבליטה המשוונית מתמסמסת מעט תחת המתחים הסיבוביים של הטלטול, והתגובה האלסטית הזו מאריכה את התקופה מ־305 לכ־430 ימים. התקופה המפורטת תלויה בתגובה האלסטית הפנימית של כדור הארץ, כך שמדידות טלטול צ'נדלר הן בדיקה ישירה של הריאולוגיה הפנימית של כדור הארץ.

לטלטול יש משרעת של כמה מטרים — קוטב הסיבוב מתווה מעגל בקוטר של כ־6 מטרים על פני השטח של כדור הארץ. הוא נראה בנתוני תצפיות רוחב: קו הרוחב הנצפה של כל מצפה קבוע משתנה בכ־0.3 שניות קשת לאורך מחזור 433 הימים, כשהקוטב נע תחתיו. השירות הבין־לאומי לסיבוב כדור הארץ עוקב אחר הטלטול הזה בדיוק של סאב־מילימטר היום, והוא רכיב סטנדרטי של כל מודל איכות־GPS של כדור הארץ.

הטלטול היה צריך להתפוגג בכ־70 שנה — חיכוך פנימי בתוך כדור הארץ מדמם אנרגיה מהתנודה החופשית. הוא לא מתפוגג. חייב להיות מנגנון שממשיך לעורר אותו מחדש. המועמד המוביל הוא עירור אקראי על ידי תנודות לחץ בקרקעית האוקיינוס ושינויים אטמוספריים, שפועלים כסוג של עירור סטוכסטי על כדור הארץ־כגוף־קשיח. ייחוס מדויק עדיין שנוי במחלוקת במאמרי גאופיזיקה של שנות ה־2020 — טלטול צ'נדלר הוא תנועה קטנה, עדינה ונצפית שתחזוקתה עדיין לא מובנת במלואה.

טלטול צ'נדלר נמדד במטרים על פני השטח. הנקיפה הצירית נושאת את הקוטב דרך קשת של 47° בשמיים. מדוע אחד כה קטן והשני כה גדול?

שני משטרים פיזיים שונים. נקיפה מונעת על ידי מומנט כוח חיצוני גדול מאוד, יציב מאוד — המשיכה הגאותית המשולבת של הירח והשמש על הבליטה המשוונית. מומנט הכוח משמעותי (10²⁴ ניוטון·מטר), ולאורך 13,000 שנים הוא מסובב את הציר דרך 47° בשמיים. המשרעת נקבעת על ידי זווית ההטיה הקבועה (23.4°) ואינה תנועה "קטנה"; זהו חרוט נקיפה שלם.

טלטול צ'נדלר, לעומת זאת, הוא תנודה חופשית ללא נהג חיצוני גדול. משרעתו נקבעת על ידי תנאי התחלה — איזה היסט זעיר של ציר הסיבוב מציר ראשי היה קיים כשכדור הארץ נוצר או הופרע לאחרונה. מתח בקרקעית האוקיינוס וחוסר יציבות אטמוספרית ממשיכים לעורר אותו מחדש ברמה של כמה מטרים; הרמה הזו היא שיווי משקל בין העירור האקראי לבין הניחות הפנימי. אם תכו את כדור הארץ בפגיעה ממש גדולה — אסטרואיד של 100 ק"מ, נאמר — תוכלו לעורר את הטלטול למאות מטרים או יותר, והוא אז יתפוגג לאט חזרה לרמת הרקע לאורך עשרות שנים.

שתי תנועות אלה — הנקיפה הצירית המאולצת של 26,000 שנה, והטלטול החופשי של 433 יום — הן גילויים שונים של אותה דינמיקת גוף קשיח. שתיהן הן בדיוק מה שמשוואות אוילר חוזות, מוחל על טנזור ההתמד המסוים של כדור הארץ, עם או בלי מומנטי כוח חיצוניים.

יש סיפור נוסף שכדור הארץ מספר הקשור לסיבוב. הסיבוב שלו מאט.

אותם מומנטי כוח גאותיים שמניעים את הנקיפה גם מבזבזים אנרגיה. הירח מעלה גאיות באוקיינוסים של כדור הארץ; הגאיות האלה מתגלגלות וחוות חיכוך מול קרקעית האוקיינוס וחופים; החיכוך הזה לוקח אנרגיה סיבובית מסיבוב כדור הארץ. לאורך זמן גיאולוגי, היום של כדור הארץ הולך ומתארך — בכ־1.7 אלפיות השנייה למאה, נמדד ישירות מהשוואת תקני שעונים אטומיים עם תצפיות אסטרונומיות לאורך מאה השנים האחרונות. עדויות פליאונטולוגיות — רצועות צמיחה באלמוגים מאובנים — מראות שבדבון (לפני 400 מיליון שנים) היום היה באורך כ־21 שעות והשנה הכילה כ־410 ימים.

תנע זוויתי נשמר בין מערכת כדור הארץ־ירח. אנרגיה שמתבזבזת כחיכוך אוקיינוסי חייבת ללכת למקום כלשהו, וה־L הכולל נשאר קבוע. הנהלת החשבונות היא: סיבוב כדור הארץ מאט, ולכן L של הסיבוב יורד; L המסלולי של הירח עולה כדי לפצות; ולכן הירח מתרחק מכדור הארץ. הירח נסוג ב־3.8 ס"מ לשנה, נמדד בדיוק על ידי מחזירי רפלקטור שהושארו על פני השטח של הירח על ידי אסטרונאוטי אפולו. בעוד שני מיליארד שנה הוא יהיה רחוק מספיק כך שליקויי חמה מלאים לא יתרחשו יותר — גודל הירח הנצפה יהיה קטן מדי לכסות את השמש.

זהו סיום המשחק של גוף מסתובב המצומד ללוויין. בסופו של דבר, על פני סולמות זמן של עשרות מיליארדי שנים (ארוכים יותר מגיל היקום), כדור הארץ והירח היו הופכים לנעולי גאות — אותו צד תמיד מצביע על הירח, מסתובבים יחד. לכדור הארץ היה "יום" של 47 יום והירח היה נראה נייח בשמיו. זה באמת לא יקרה — השמש תתפשט לענק אדום ראשון — אבל זוהי נקודת הסיום הטבעית של דינמיקת גוף־קשיח־פלוס־גאיות שתיארנו.

זה סוגר את המודול על סיבוב וגופים קשיחים. בנינו את ערכת הכלים — מומנט כוח, מומנט התמד, תנע זוויתי, משפט הצירים המקבילים — והחלנו אותה: על ג'ירוסקופים, על אופניים, על חתולים נופלים, ולבסוף על כדור הארץ עצמו, שהנקיפה, הנטיפה, טלטול צ'נדלר והבלימה הגאותית שלו הם כולם השלכות ישירות של משוואות הגוף הקשיח של אוילר.

מה נשאר? חוקי ניוטון היו המסגרת שלנו לכל נושא עד כה במכניקה הקלאסית. הם שירתו — כל עוד המערכות פשוטות מספיק לעבוד על הכוחות ישירות. אך לכל דבר מסובך יותר מכמה חלקיקים, הכוחות עצמם הופכים קשים למניין (חשבו על מטוטלת כפולה עם כוחות האילוץ שלה, או כדור מתגלגל על משטח מעוקל). המאה ה־19 פיתחה ניסוח אחר לגמרי, וחזק יותר, של מכניקה — מכניקת לגרנז' והמילטון — שבהן אנו עובדים לא עם כוחות אלא עם אנרגיות, ומשוואות התנועה צצות מפונקציה סקלרית יחידה. זה ארבעת הנושאים האחרונים של הענף הזה (איורים 28–31). הוא יעצב מחדש את כל מה שעשינו — מטוטלות, מסלולים, התנגשויות, סיבובים — כהשלכות של עקרון אחד: הפעולה נייחת לאורך הנתיב האמיתי. ניוטון עדיין יהיה צודק, אך לגרנז' והמילטון יראו הלאה.