תנועה בקו ישר

בקיץ 1604 הייתה לגלילאו בעיה. הוא רצה לדעת כיצד נע גוף נופל — לא מבחינה פילוסופית, אלא במדויק. כמה הוא צונח בשנייה הראשונה? בשנייה? בשלישית? השאלה נשמעת פשוטה. ב־1604, שום מכשיר באירופה לא יכול היה לענות עליה. שעוני מים סטו בדקות שלמות. מטוטלות עדיין לא שולבו בשעונים. אבן הנופלת ממגדל פוגעת בקרקע תוך פחות משתי שניות, ואיש לא יכול היה לתזמן שתי שניות בדיוק טוב ממשנת־מצפון.

אז גלילאו הטה את הבעיה. במקום להשמיט כדור, הוא גלגל אותו לאורך מישור משופע ארוך ומחורץ. שיפוע מתון של הלוח דילל את כוח הכבידה עד שהכדור הגיע לתחתית במשך שניות שלמות — איטי מספיק כדי שחוקר קפדן יוכל לעקוב אחריו בשירה, בספירת פעימות לב, או בשקילת מים הזורמים מכלי לסיר. הוא סימן היכן הכדור היה במרווחי זמן שווים ומדד את המרחקים.

מה שהוא מצא, אחרי שנים של ניסויים זהירים, היה יפהפה. במרווח הראשון הכדור עבר יחידת מרחק מסוימת. בשני — שלוש יחידות. בשלישי — חמש. ואז שבע, ואז תשע — המספרים האי־זוגיים, בדיוק. מסכמים אותם, והמרחק הכולל לאחר n מרווחים הוא n² יחידות: 1, 4, 9, 16, 25. המרחק גדל כריבוע הזמן.

זה היה החוק הכמותי הראשון של התנועה. אריסטו לימד במשך אלפיים שנה שגופים כבדים יותר נופלים מהר יותר מקלים, ושגוף בתנועה מואט אם לא דוחפים אותו. שתי הטענות שגויות, והרמפה של גלילאו הייתה הניסוי הראשון שדויק מספיק כדי להראות זאת. הכדור לא התייצב במהירות קבועה. הוא עדיין האיץ בתחתית הרמפה, בדיוק כמו בראשה. משהו בתנועה היה קבוע — אבל זה לא היה המהירות.

כדי לתאר כיצד נע משהו לאורך קו אתה זקוק לשלושה מספרים. הראשון הוא מיקום: היכן הוא נמצא כרגע? נקרא לו x(t). השני הוא מהירות: באיזו מהירות המיקום משתנה? השלישי הוא תאוצה: באיזו מהירות המהירות משתנה?

ובניסוח חד יותר: המהירות היא קצב השינוי של המיקום, והתאוצה היא קצב השינוי של המהירות.

הסימון הזה — הנגזרת — היה עדיין שישים שנה לעתיד כשגלילאו ביצע את הניסויים שלו. הוא נאלץ לומר את אותו הדבר במילים ובתמונות, וזה לקח לו כל החיים. ניוטון ולייבניץ ימציאו מאוחר יותר את המתמטיקה שתאפשר לכתוב זאת בשתי שורות.

על המישור המשופע, גלילאו גילה שהתאוצה — ולא המהירות — היא הקבועה. לכדור הנע במורד הלוח המהירות עולה באופן יציב, שנייה אחר שנייה. התאוצה היא אותו מספר בכל רגע. העובדה הזו, שהדבר השני בשרשרת הוא מה שמתקבע כשהכבידה מושכת, היא לב העניין של הניסוי שלו.

אם v = dx/dt, אז המהירות היא השיפוע של גרף מיקום־מול־זמן ברגע נתון. אבל לרגע אין משך. איך לוקחים את השיפוע של עקומה בנקודה אחת?

הטריק הוא לקחת את השיפוע של קו דרך שתי נקודות סמוכות — קו חותך — ואז להחליק את שתי הנקודות זו לזו. דמיינו עקומה. בחרו נקודה כלשהי עליה. בחרו נקודה שנייה מעט יותר קדימה. ציירו את הקו הישר דרך שתיהן. השיפוע של אותו קו הוא קצב השינוי הממוצע ביניהן. כעת החליקו את הנקודה השנייה קרוב יותר לראשונה. הקו החותך מסתובב. קרוב יותר. קרוב יותר. בגבול, שתי הנקודות מתמזגות והקו החותך הופך למשיק — קו יחיד שרק נוגע בעקומה בנקודה אחת, בלי לחצותה. השיפוע של המשיק הזה הוא המהירות הרגעית.

כווצו את Δt לכיוון אפס. צפו בקו החותך מסתובב, קרוב יותר וקרוב יותר, עד שיסתדר עם העקומה בנקודה שבחרתם. הסיבוב הזה, ההתכנסות הזו, הם התוכן הפיזיקלי של נגזרת. המספר שאליו היא מתקבעת הוא המהירות באותו רגע.

ניקול אורם, בישוף צרפתי שכתב בשנות ה־1350 — שלוש מאות שנה לפני ניוטון — כבר שרטט את הרעיון הזה על קלף. הוא צייר את הגרפים הראשונים של תנועה בהיסטוריה: זמן על הציר האופקי, מהירות על האנכי, צורת העקומה מספרת את כל הסיפור. הוא לא יכול היה לעשות חשבון דיפרנציאלי, אבל הוא עשה משהו כמעט חזק באותה מידה — הוא חישב שטחים.

נניח שהתאוצה קבועה — מקרה הרמפה, או כל גוף בנפילה חופשית סמוך לפני הארץ. אז המהירות גדלה ליניארית בזמן, והמיקום גדל ריבועית. שלושה יחסים אלגבריים — משוואות הקינמטיקה — קושרים את כל המרכיבים יחד.

הראשונה ברורה: התחילו ב־v₀, הוסיפו a בכל שנייה, אחרי t שניות אתם נעים במהירות v₀ + at.

השנייה היא המקום שבו ה־½ המסתורי מופיע. מאין הוא בא? ציירו את גרף v(t). זהו קו ישר המתחיל ב־v₀ ומטפס בשיפוע a. המרחק שנעבר בזמן t הוא השטח מתחת לקו הזה — והשטח הזה הוא טרפז, או באופן שווה מלבן פלוס משולש. שטח המלבן הוא v₀·t (החלק של המהירות הקבועה). שטח המשולש הוא בסיס t וגובה a·t, כלומר ½·a·t². חברו את השניים ותקבלו את הנוסחה המלאה. ה־½ הוא שטח של משולש, לא קבוע שרירותי מהחשבון הדיפרנציאלי. זו הייתה התובנה של אורם במאה הארבע־עשרה, וזה בדיוק נכון.

למשוואה השלישית אין בכלל זמן. היא אומרת: בהינתן מאיפה התחלתם, איפה אתם כעת, והתאוצה — אתם יודעים את המהירות הסופית ישירות. זה משפט עבודה־אנרגיה בתחפושת אלגברית — נפגוש אותה שוב באיור 05.

סמוך לפני הארץ, לכל גוף בנפילה חופשית יש אותה תאוצה כלפי מטה: g ≈ 9.81 m/s². כדור באולינג וגולת זכוכית. פטיש ונוצה. המסה אינה מופיעה במשוואות הקינמטיקה של גוף נופל — לא משום שעיגלנו אותה, אלא משום שהיא פשוטו כמשמעו מצטמצמת.

הסיבה דקה ועמוקה. הכבידה מושכת גוף בכוח הפרופורציונלי למסה שלו: F = m·g. החוק השני של ניוטון אומר שהתאוצה היא הכוח חלקי המסה: a = F/m = m·g/m = g. שתי המסות הן אותו מספר, והן מצטמצמות. זהו עקרון השקילות, ואיינשטיין יבנה מאוחר יותר את תורת היחסות הכללית על גבו.

על פני הארץ, התנגדות האוויר מסתירה את האמת. נוצה נסחפת, מצנח מחליק, פיסת נייר מרפרפת הצידה. זה לא כבידה שאינה מסכימה עם עצמה — זה האוויר הדוחף בחזרה. הסירו את האוויר והפיזיקה הופכת נראית. בניסוי למטה, העבירו את האוויר בין מצבים וצפו במה שקורה.

ב־2 באוגוסט 1971, האסטרונאוט דייוויד סקוט עמד על פני הירח סמוך לסוף משימת אפולו 15. הוא החזיק פטיש גיאולוג ביד אחת עטופת־כפפה ונוצת בז בשנייה. הוא שחרר אותן באותו רגע, בשידור חי בטלוויזיה, בפני קהל של חצי מיליארד איש. הן פגעו באבק הירחי באותו הרגע. "מה דעתכם על זה?" אמר סקוט. "מר גלילאו צדק בממצאיו."

לירח אין כמעט אטמוספירה. נפילה חופשית, מופשטת מהכל מלבד כבידה, זהה לכל הגופים. גלילאו צדק במשך 367 שנה, ונדרש רקטת סטורן V כדי להוכיח אותו צודק במצלמה.

הנה הטענה הדחוסה: גרף x(t) יחיד מספר לכם הכל על תנועה חד־ממדית. גובה הוא מיקום. שיפוע הוא מהירות. קעירות היא תאוצה. אם אתם יודעים לקרוא את הגרף, אתם יודעים את התנועה.

הזיזו את המחוונים. הגרף העליון הוא x(t) — פרבולה כשהתאוצה שונה מאפס, קו ישר כשהיא אפס. מתחתיו, v(t) הוא השיפוע של x(t) בכל נקודה. מתחתיו עוד, a(t) הוא השיפוע של v(t), שהוא קבוע משום שבחרנו תאוצה קבועה. הכדור שבראש נע בזמן אמת לאורך מסילה חד־ממדית, מיקומו מסונכרן עם x(t). כל עובדה על תנועה זו מקודדת בלוח העליון; שני הלוחות שמתחת הם רק הנגזרת הראשונה והשנייה, מוצבות זו על זו לבדיקה.

אורם היה הראשון שצייר גרף של דבר נע. הוא השתמש בו כדי להוכיח את מה שאנו קוראים לו כיום משפט המהירות הממוצעת: גוף המאיץ באחידות ממנוחה עובר את אותו המרחק בזמן נתון כגוף הנע בממוצע של מהירויותיו ההתחלתית והסופית. ההוכחה היא דיאגרמה. משולש ומלבן באותו שטח. ללא סמלים. זה מה שגרף הוא — מכשיר גיאומטרי לראיית האינטגרל. גלילאו, שלוש מאות שנים אחר כך, השתמש באותו סוג של היגיון כדי לגזור את x = ½·a·t² עבור כדור המתגלגל ממנוחה. הגרף הגיע קודם. האלגברה הגיעה אחר כך.

כל מה שעשינו עד כה חי על קו מספרים יחיד. מיקום הוא מספר אחד. מהירות היא מספר אחד. תאוצה היא מספר אחד. תנועה אמיתית אינה כזו. כדור הנזרק מעבר לשדה יש לו מיקום אופקי ומיקום אנכי. כוכב לכת המקיף את השמש משרטט עקומה המתעגלת בחזרה אל עצמה. קליע מתהפך באוויר בשלושה ממדים, מסתובב, עולה, נופל, נסחף הצידה ברוח.

המקרה החד־ממדי הוא השלד. זה המקום שבו אנו לומדים לראות את המיקום, המהירות והתאוצה כשלוש שאלות שונות על אותו הדבר הנע. התשובות, בממד אחד, הן פשוט מספרים עם סימן. בשני ממדים, הן הופכות לווקטורים — עצמים בעלי גודל וכיוון. משוואות הקינמטיקה שורדות כמעט ללא שינוי, אך יש לקרוא כל אחת מהן לפי רכיבים.

שם מתחיל איור 02.