משוואות הקינמטיקה

תחת תאוצה קבועה — המקרה הלא־טריוויאלי הפשוט ביותר של תנועה — שלוש משוואות קומפקטיות מתארות את הכול. בהינתן שלושה מתוך חמשת הגדלים (מיקום התחלתי x₀, מהירות התחלתית v₀, תאוצה a, זמן שחלף t, מהירות סופית v, מיקום סופי x), ניתן לפתור את השאר.

הראשונה, v = v₀ + at, אומרת שהמהירות גדלה לינארית עם הזמן. התחל ב-v₀, הוסף כמות קבועה בכל שנייה, וזו מהירותך הנוכחית. השנייה, x = x₀ + v₀t + ½at², אומרת שהמיקום הוא סכום של שלושה חלקים: היכן התחלת, כמה היית עובר במהירות ההתחלתית, והמרחק הנוסף שנעשה משום שהאצת. הפקטור ½ אינו שרירותי — זהו שטח האזור המשולש מתחת לגרף מהירות הגדלה לינארית, זהות גאומטרית שניקול אורסם הוכיח שלוש מאות שנה לפני גלילאו. השלישית, v² = v₀² + 2a(x − x₀), היא משפט עבודה-אנרגיה במסווה, ואין בה זמן כלל: בהינתן מהירות התחלתית ומרחק שעובר תחת תאוצה קבועה, ניתן לדעת ישירות את המהירות הסופית, מבלי לעקוב אחר משך המסע.

משוואות אלו הן כלי העבודה של מכניקה בסיסית. בעיות הטלה, מרחקי בלימה, שריפות מנועי רקטה, נפילת גופים — כל דבר שבו אפשר להתייחס לתאוצה כקבועה — מצטמצם לתרגילים אלגבריים ברגע שכותבים אותן. ברגע שהתאוצה מפסיקה להיות קבועה, המשוואות קורסות, ויש להפעיל חדו"א ממש. אך בתחומן הן מדויקות, לא קירובים, והן תמצית החדו"א של התנועה שהודחקה לאלגברה טהורה.